Mit Termen und Formeln arbeiten EXTRABLATT 4.8 Formelwissen ist Macht Aufgaben 4.222 Ermittle mit Hilfe des Pascal’schen Dreiecks eine Formel für a) (A + B)6, b) (A + B)7! 4.223 Bei einer Abendveranstaltung ist es üblich, mit allen Personen anzustoßen, die am selben Tisch sitzen. An einem Tisch sitzen drei Personen, man hört dort die Gläser dreimal klingen. Am Nebentisch sitzen vier Personen, dort klingen die Gläser sechsmal. 1) Wie oft klingen die Gläser an Tischen mit fünf, sechs, sieben und acht Personen? 2) Stellt einen Term auf, der die Zahl des Gläserklingens bei n Personen angibt! 4.224 Ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 12 cm soll durch Verlängerung der einen Seite und durch Verkürzung der anderen Seite um dieselbe Länge in ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A = 135 cm2 umgeformt werden. Wie lang sind die Rechteckseiten? 4.225 Denkt euch eine beliebige Zahl! Addiert 5 dazu, verdoppelt das Ergebnis und subtrahiert das Doppelte der ursprünglichen Zahl! Das Ergebnis ist 10. Warum funktioniert das für jede gedachte Zahl? Hinweis: Stellt diese Rechenanweisung als Term mit der gedachten Zahl x dar! Die binomischen Formeln (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 und (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 gelten für beliebige Terme A und B. Man nennt sie binomische Formeln 2. Ordnung, da der Exponent bei (A + B) und (A – B) jeweils 2 ist. Aus diesen lassen sich die binomischen Formeln 3. Ordnung herleiten: (A + B) 3= (A + B)2·(A + B) = (A2 + 2AB + B2)·(A + B) = A 3+ 3 A 2B + 3A B 2+ B 3 (A – B) 3= (A – B)2·(A – B) = (A2 – 2AB + B2)·(A – B) = A 3– 3 A 2B + 3A B 2– B 3 Rechne nach! Ein Hilfsmittel zum Erstellen von binomischen Formeln höherer Ordnung ist das Pascal’sche Dreieck (benannt nach dem französischen Mathematiker Blaise PASCAL, 1623 –1662). Dieses zeigt an den Rändern links und rechts stets die Zahl 1 und jede weitere Zahl ist die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen. Ein Zusammenhang zu den (A + B)2 = Koeffizienten bei den (A + B)3 = binomischen Formeln (A + B)4 = ist leicht hergestellt: (A + B) = (A + B)5 = … Während die Exponenten bei A von links nach rechts stets um 1 kleiner werden, passiert bei den Exponenten von B das Gegenteil. Dieses Schema lässt sich immer so weiterführen. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 A + 1 B 1 A2 + 2 AB + 1 B2 1 A3 + 3 A2 B + 3 AB2 + 1 B3 1 A4 + 4 A3 B + 6 A2 B2 + 4 AB3 + 1 B4 1 A5 + 5 A4 B + 10 A3 B2 + 10 A2 B3 + 5 AB4 + 1 B5 … … … … 12+ x 12 cm 12 cm 144 cm2 135 cm2 x x 12 ‒ x 4 119 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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