7.5 Strahlensätze 7.72 Die beiden Dreiecke in Abbildung 7.1 sind einander ähnlich. Sind aber auch die beiden Dreiecke in Abbildung 7.2 einander ähnlich? Versucht die Antwort zu begründen! Abb 7.1 Abb 7.2 Ist bei einer zentrischen Streckung der Streckungsfaktor k < 0, dann liegen Original- und Bildpunkte auf verschiedenen Seiten vom Streckungszentrum Z. Wie groß ist in Abb. 7.2 der Streckungsfaktor k und wo liegt das Streckungszentrum Z? 7.73 Gebt so viele ähnliche Dreiecke an, wie ihr in Abbildung 7.3 finden könnt! Versucht auch zu erklären, warum diese einander ähnlich sind! Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke erweisen sich für das Verständnis der drei Strahlensätze, die in Abbildung 7.3 veranschaulicht sind, als sehr hilfreich. Erster Strahlensatz Werden die Strahlen a, b und c, die vom gemeinsamen Punkt S ausgehen, von zwei parallelen Geraden g1 und g2 geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einem Strahl zueinander so wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl: _ SA 1 _ SA 2= _ SB 1 _ SB 2= _ SC 1 _ SC 2 und _ SA 1 _ A 1A 2= _ SB 1 _ B 1B 2= _ SC 1 _ C 1C 2 oder anders angeschrieben: _ SA 1 _ _ SA 2 = _ SB 1 _ _ SB 2 = _ SC 1 _ _ SC 2 und _ SA 1 _ _ A 1A 2 = _ SB 1 _ _ B 1B 2 = _ SC 1 _ _ C 1C 2 Bemerkung: Für den ersten Strahlensatz gilt auch die Umkehrung: Wenn die Geraden g1 und g2 von den Strahlen a, b und c verhältnisgleiche und gleichliegende Strecken abschneiden, dann sind g1 und g2 parallel. Ein Beweis für den ersten Strahlensatz ergibt sich unmittelbar aus der Ähnlichkeit folgender Dreiecke (siehe Abbildung 7.3): SA1B1 ist ähnlich zu SA2B2 , SA1C1 ist ähnlich zu SA2C2 , SB1C1 ist ähnlich zu SB2C2. C I A A B C A’ B’ C’ α α’ A B C A’ B’ C’ α α’ Abb. 7.3 a b c A1 B1 C1 A2 B2 C2 g1 g2 S I A B 7 171 Figuren vergrößern und verkleinern Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=