Derartige funktionale Zusammenhänge, bei denen sich der Funktionswert bei Erhöhung des Arguments um 1 immer mit gleichbleibendem Faktor a ändert, nennt man Exponentialfunktionen. Ist a > 1, dh. a = 1 + p ___ 100, spricht man von einem exponentiellen Wachstumsprozess. Der Funktionswert erhöht sich in diesem Fall pro Einheit um p%. Ist a < 1, dh. a = 1 – p ___ 100 , spricht man von einem exponentiellen Abnahmeprozess. Der Funktionswert vermindert sich in diesem Fall pro Einheit um p%. Man nennt a den Wachstums- bzw. Abnahmefaktor. Ist f eine reelle Funktion mit f (x) = c·ax (mit c * R, a * R+), so nennt man die Funktion f eine Exponentialfunktion mit der Basis a. AUFGABEN 4.84 Elvira verdient derzeit ca. 30000€ brutto im Jahr. Nimm an, dass sie jedes Jahr eine Gehaltserhöhung von 3% erhält. In x Jahren verdient sie g (x)€. 1) Gib den Wachstumsfaktor an! 2) Gib eine Termdarstellung der Funktion g an! 3) Stelle die Zuordnung für einen Zeitraum von zehn Jahren in einer Tabelle dar! (Runde dabei die Geldbeträge auf ganze Euro!) 4.85 In einer Bakterienkultur befinden sich 400 Bakterien. Sie vermehren sich exponentiell stündlich um 20%. 1) Gib eine Termdarstellung der Funktion N an, die der Anzahl t der Stunden die Anzahl N (t) der Bakterien zuordnet! 2) Zu Beginn der Messung (t = 0) ist es 7 Uhr. Stelle die Zuordnung bis 12Uhr in einer Tabelle dar! (Runde bei N (t) auf ganze Zahlen!) 3) Berechne N (1) ___ N (0), N (2) ___ N (1), N (3) ___ N (2), N (4) ___ N (3) und N (5) ___ N (4)! Was fällt auf! Begründe die Antwort! 4) Berechne N (1) – N (0), N (2) – N (1), N (3) – N (2), N (4) – N (3) und N (5) – N (4)! Gib einen Grund dafür an, dass die Differenzen mit wachsenden Argumenten stark steigen! 5) Stelle diese Zuordnung durch den Graphen von N in einem Koordinatensystem dar! 4.86 In einer Urlaubsregion geht die Zahl der Gäste jährlich in etwa um 10% zurück. 1) Es sei N0 die Zahl der Gäste zum Zeitpunkt t = 0. Gib eine Termdarstellung jener Funktion N an, die bei gleichbleibendem prozentuellen jährlichen Rückgang die Anzahl N (t) der Urlauber nach t Jahren beschreibt! 2) Hussan meint: „Wenn das so weitergeht, haben wir in zehn Jahren gar keine Gäste mehr.“ Begründe, dass diese Aussage nicht stimmt! 4.87 Ein Geldbetrag B wird jährlich um denselben Prozentsatz vermehrt bzw. vermindert. Der Betrag B (n) nach n Jahren sei durch die folgende Formel gegeben. Gib an, 1) ob der Geldbetrag jährlich zu- oder abnimmt, 2) um wieviel Prozent der Geldbetrag jährlich zu- bzw. abnimmt, 3) auf das Wievielfache B (n) wächst bzw fällt, wenn n um 1 erhöht wird! a) B (n) = B·1,4 n b) B (n) = B·0,96 n c) B (n) = B·0,7 n d) B (n) = B·1,005 n D O D O A Ó D A I 120 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv
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