α r M Mathematik verstehen Salzger | Bachmann | Germ | Riedler | Singer | Ulovec Auch mit E-Book+ erhältlich
Mathematik verstehen 4, Schülerbuch + E-Book Schulbuchnummer 180209 Mathematik verstehen 4, Schülerbuch mit E-Book+ Schulbuchnummer 205274 Mathematik verstehen 4, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 207950 Mathematik verstehen 4, Schülerbuch E-Book+ Solo Schulbuchnummer 207951 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 18. Februar 2016, GZ 5.018/0073- B/8/2016, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Mittelschulen für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 22. August 2022, GZ. 2022-0.427.696 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 4, Schulbuch + E-Book“ (BNR 180.209) kein Einwand besteht. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 2. August 2021, GZ 2020-0.673.742, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Mittelschulen für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 19. Juli 2022, GZ. 2022-0.427.662 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 4, Schulbuch mit E-BOOK+“ (BNR 205.274) kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Ó dd4x24 Informationen für Lehrerinnen und Lehrer auf www.oebv.at im Bereich Digitales Zusatzmaterial. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: Steven Swinnen / EyeEm / Getty Images; öbv, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr.in Helene Ranetbauer, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11148-7 (Mathematik verstehen SB 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-11160-9 (Mathematik verstehen SB 4 + E-Book+) ISBN 978-3-209-13087-7 (Mathematik verstehen SB 4 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13088-4 (Mathematik verstehen SB 4 E-Book+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 4 Mathematik verstehen Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. AUFGABEN Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Handlungsbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Darstellen, Modellbilden (H1) 1.06 … Operieren, Rechnen (H2) 1.07 … Interpretieren (H3) 1.08 … Argumentieren, Begründen (H4) Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Code am Ende der Seite angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online-Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Die Abkürzung Info führt zu weiteren Hintergrundinformationen. Jene mit Demo bietet interaktive Applets zum besseren Theorieverständnis. Unter Übung gibt es weitere Übungsaufgaben, die direkt am Computer zu lösen sind. Die Abkürzung Werkzeug kennzeichnet Aufgaben, die mittels Technologie (GeoGebra, Tabellenkalkulation, …) gelöst werden können. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 285. D O I A C B Ó Hier siehst du, in welchem Inhaltsbereich du dich gerade befindest. 2 Inhaltsbereich Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Fit für die 4. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I 1: Zahlen und Maße 1 Reelle Zahlen 16 1.1 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Wurzeln aus einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Mit Wurzeln rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Reelle Zahlen geometrisch darstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 Reelle Zahlen näherungsweise angeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Grundgesetze für reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7 Übersicht über die Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8 EXTRABLATT Gibt es da noch mehr? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9 KOMPETENZCHECK 38 I2: Variablen, funktionale Abhängigkeiten 2 Variablen, Terme, Gleichungen 40 2.1 Termstrukturen erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Mit Termen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Eigenschaften von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Mit Bruchtermen arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Gleichungen aufstellen und lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6 Mathematische Modelle und die Wirklichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.7 EXTRABLATT Spezielle Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.8 KOMPETENZCHECK 72 3 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 74 3.1 Lineare Gleichungen in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen 80 3.3 EXTRABLATT Die Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4 KOMPETENZCHECK 92 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Funktionen 94 4.1 Zuordnungen und Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Funktionsgraphen zeichnen und interpretieren 98 4.3 Termdarstellung reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5 Vergleich linearer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6 Einige nichtlineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.7 Funktionen als Modelle betrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.8 EXTRABLATT Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.9 KOMPETENZCHECK 124 I3: Geometrische Figuren und Körper Ó 4n5f4w – Arbeitsblätter Geometrie 5 Die pythagoräische Satzgruppe 126 5.1 Der pythagoräische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2 Der Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.3 Der Höhensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.4 Die pythagoräische Satzgruppe in ebenen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.5 Die pythagoräische Satzgruppe in Körpern 148 5.6 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.7 EXTRABLATT Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.8 KOMPETENZCHECK 158 6 Die Kreiszahl π 160 6.1 Was ist π? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.2 Der Umfang eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.3 Die Länge von Kreisbögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.4 Der Flächeninhalt eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.5 Der Flächeninhalt von Kreisteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.6 EXTRABLATT Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.7 KOMPETENZCHECK 178 7 Rotationskörper 180 7.1 Was ist ein Rotationskörper? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2 Eigenschaften eines Drehzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.3 Volumen und Oberflächeninhalt des Drehzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.4 Eigenschaften eines Drehkegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.5 Volumen und Oberflächeninhalt des Drehkegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.6 Eigenschaften einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.7 Volumen und Oberflächeninhalt der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.8 EXTRABLATT Natur und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.9 KOMPETENZCHECK 200 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 8 Zentralmaße und Streuungsmaße 202 8.1 Zentralmaße: arithmetisches Mittel, Modus, Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.2 Weitere Zentralmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.3 Quartile, Quartilsabstand, Kastenschaubild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.4 Streuungsmaße: empirische Varianz und emprische Standardabweichung . . . . 220 8.5 Vergleich von Merkmalen, Streudiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.6 EXTRABLATT Der Intelligenzquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.7 KOMPETENZCHECK 232 9 Zusammenfassung des Lernstoffs 234 9.1 Zahlen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.3 Geometrische Figuren und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.4 Statistische Darstellungen und Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10 Aufgaben zu den Bildungsstandards 248 10.1 Zahlen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 10.2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.3 Geometrische Figuren und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 10.4 Statistische Darstellungen und Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Lösungen zum Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Stichwortregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Ordnet jeder Fragestellung den Buchstaben des passenden Terms zu und löst die Aufgaben! Am Abend beträgt die Temperatur in Linz ‒9 °C. In der Nacht fällt die Temperatur um 3 °C. Wie kalt ist es in der Nacht? A (‒9)3 Für den fehlenden Geldbetrag von 9€ müssen drei Personen zu gleichen Teilen aufkommen. Wie viel muss jede bezahlen? B 9·3 In einer Klasse sind neun Schüler. Es kommen drei Schüler dazu. Wie viele Schüler sind in der Klasse? C ‒9 + 3 Der Eintritt in den Zoo beträgt für Kinder unter zwölf Jahren 3€. Wie viel ist für eine Gruppe von neun Kindern zu bezahlen? D (‒9)·3 Bei einem Würfelspiel wird eine Karte mit folgender Anweisung gezogen: Gehe drei Felder nach vor und dann neun Felder zurück! Wie viele Felder muss der Spieler zurückgehen? E 3 – 9 Rudi hat sich von seinem Vater 9€ ausgeborgt und bereits 3€ zurückgezahlt. Wie viel schuldet Rudi seinem Vater? F (‒3)·9 Neun Bonbons werden zu gleichen Teilen auf drei Kinder aufgeteilt. Wie viele Bonbons erhält jedes Kind? G ‒9 – 3 Isi hat neun Äpfel gekauft. Drei davon hat sie gegessen. Wie viele Äpfel hat sie noch? H 9 + 3 Die Tiefsttemperatur in Wien war an einem Jännertag ‒9 °C. In Wladiwostok wurde in derselben Nacht der dreifache Wert gemessen. Welche Temperatur herrschte in Wladiwostok? I 9 – 3 Neun Kinder haben sich beim Wandertag jeweils 3€ von ihrer Lehrerin ausgeborgt. Wie viel müssen die Kinder der Lehrerin insgesamt zurückgeben? J 93 Fit für die 4. Klasse Was haben wir im letzten Schuljahr gelernt? 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ganze und rationale Zahlen 2 Gib die nächstkleinere und die nächstgrößere ganze Zahl an! a) < ‒9,05 < c) < +3,42 < e) < ‒0,79 < b) < ‒23,2 < d) < ‒30,01 < f) < ‒1,98 < 1) Stelle die Zahlen ‒ 1 _ 8 ; ‒ 3 __ 20 ; ‒ 3 __ 10 und ‒ 1 __ 10auf dem Ausschnitt der Zahlengeraden dar! - 0,3 - 0,2 - 0,1 0 2) Begründe in Worten, dass ‒ 3 __ 20 größer ist als ‒ 3 __ 10! 3) Begründe in Worten, dass † ‒ 3 __ 10 †größer ist als † ‒ 1 __ 10 †! 4 Gegeben ist die Zahl a) ‒7,3, b) 0,9, c) ‒1,2, d) 10,5, e) ‒10, f) ‒23,2, g) 0,5. Berechne die Zahl, die um 1) ein Zehntel größer, 2) drei Hundertstel kleiner, 3) 13 größer, 4) sieben Zehntel kleiner als die gegebene Zahl ist! 5 Vervollständige die Tabelle! a) b) c) d) e) f) g) alter Kontostand +450 +146 +2048 +543 +3456 Einzahlung/Abhebung ‒1 017 +267 +5004 ‒996 neuer Kontostand +210 +722 ‒889 +447 +4357 6 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch ‒2 ist um 5 kleiner als ‒7. Um 6 kleiner als ‒2 ist ‒4. ‒11 ist um 4 größer als ‒15. |‒5| ist um 3 kleiner als |‒2|. ‒16 liegt genau in der Mitte zwischen ‒31 und +1. Der Absolutbetrag von ‒3 ist gleich dem Absolutbetrag von +3. 7 Gib die fehlende Zahl an! a) (‒7) + = +14 c) – (‒8) = ‒25 e) (‒13) – = ‒10 b) (+13) – = +21 d) + (‒23) = +14 f) – (+18) = ‒7 8 Berechne beide Terme und setze <, > oder = ein! a) (‒94) + (‒28) (‒379) – (‒256) b) (+74) – (+56) (+9) + (‒36) + (+45) c) (+19) + (‒88) – (‒66) (‒72) – (+29) + (+98) d) (‒16) – (+17) + (+18) (‒13) + (‒14) – (‒15) 3 7 Fit für die 4 Klasse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Gib die fehlende Zahl an! a) (‒7) = +8 c) (+64) = ‒8 e) (‒10)· = +130 b) (‒3) = ‒16 d) (‒75) = ‒5 f) ·(‒25) = ‒125 10 Berechne beide Terme und setze <, > oder = ein! a) (‒8)·(‒6) (‒200)(+4) c) (‒120)(+8)(‒3) (‒10)·(+1,2)·(‒2) b) (+69)(‒3) (‒3,4)·(+5) d) (‒16)·(‒6)(+12) (+285)(+3)(‒5) 11 Berechne! a) (‒4,8)·(+3,5) + (+12,4) – (‒6,08)(‒1,6) b) (‒3,2)(+0,8) – (+2,3) + (‒1,4)·(‒3) c) (‒4,8)·(‒2,5) – (‒24,8)(‒6,2) d) (‒4,3) + (‒6,5) + (+16,9)(‒1,3) 12 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Multipliziert man zwei positive Zahlen und eine negative Zahl miteinander, so ist das Ergebnis stets positiv. Ist der Subtrahend negativ, so ist das Ergebnis der Subtraktion stets positiv. Subtrahiert man von einer positiven Zahl eine negative Zahl, so erhält man eine positive Zahl. Der Quotient zweier negativer Zahlen ist stets positiv. Ist der Divisor positiv und der Dividend negativ, dann ist das Ergebnis der Division negativ. Die Summe zweier negativer Zahlen ist stets positiv. 13 Berechnet und setzt für jedes korrekte Ergebnis den entsprechenden Buchstaben in das dafür vorgesehene Feld ein! Wie lautet der vollständige Satz? 1) (‒17) – [(+12) – (‒8) – (+21)] 2) [(‒2)·(+5) + (‒6)·(‒3)]·[(‒1)·(‒7) – (+4)·(‒8)] 3) (+42) – {(‒17) – [(+27)(‒3) + (+11)·(‒7) – (‒2)]·(‒4)} 4) {[(‒14)(+2) + (‒2) – (+35)(‒7)] – (‒12)}·(‒10) + (‒10) 5) {[(‒21) + (+36)(‒6) – (+14)] – (‒20)}(+7) ‒3 ‒5 +395 ‒16 +105 +312 ‒304 +216 ‒90 ‒12 K L S M A U T B I R Das Leben ist . 1) 2) 3) 4) 5) 14 Vergleiche die Zahlen und setze <, > oder = ein! a) ‒9,1 ‒9 2 __ 10 c) 3,23 3 1 _ 4 e) ‒2 1 _ 4 ‒2,2 b) † ‒1 3 _ 4 † 7 _ 4 d) |‒2,4| |+2,3| f) ‒0,1 ‒0,01 B 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Setze für x = ‒1 1 _ 4 und für y = + 3 _ 4ein! Berechne und ordne den Ergebnissen die Bezeichnung des passenden Terms zu! A x + y B x – y C x·y D xy E x + 2 y F x·2 y G x – 2 y ‒2 ‒ 15 __ 16 ‒2 3 _ 4 ‒1 2 _ 3 1 _ 4 ‒ 1 _ 2 ‒1 7 _ 8 16 Setze für a = ‒ 1 _ 2, für b = + 2 _ 3 und für c = ‒ 3 _ 4ein! Berechne und ordne den Ergebnissen die Bezeichnung(en) des (der) passenden Terms (Terme) zu! A a + b·c C a·b·c E a – bc G a·bc B a·b + c D ab – c F a – b·c H a(b + c) 4 _ 9 ‒1 1 __ 12 ‒1 , 0 + 1 _ 4 + 7 __ 18 6 17 Berechne! a) (‒2)2 = c) (+3)3 = e) ‒32 = g) +13 = i) ‒15 = b) (‒1)3 = d) ‒14 = f) (‒2)0 = h) (+2)3 = j) (‒5)2 = 18 Kreuze nur korrekte Gleichungen an! (‒5)3 = (‒3)·(‒3)·(‒3)·(‒3)·(‒3) (‒5)3 = (‒5)·(‒5)·(‒5) (‒5)3 = ‒53 (‒5)3 = (‒5) + (‒5) + (‒5) (‒5)3 = (‒3)5 (‒5)3 = (‒5)·3 19 Setze die fehlende Zahl ein! Gib alle Möglichkeiten an! a) 7 = ‒1 c) 27 = 3 e) 64 = 2 g) 3 = ‒8 i) 125 = 3 b) 81 = 3 d) 5 = 1 f) 32 = 5 h) 216 = 6 j) 5 = ‒32 20 Kreuze nur korrekte Gleichungen an! 34 = 3·4 (‒3)4 = 34 ‒34 = ‒4·4·4 ‒43 = (‒4)3 3·4 = 3 + 3 + 3 (‒3)4 = ‒3·3·3·3 (‒4)3 = (‒4)·(‒4)·(‒4) ‒34 = ‒3·3·3 (‒4)·3 = (‒4) + (‒4) + (‒4) 21 Welche zwölf Rechnungen führen zu den drei angeführten Ergebnissen? Gebt die zutreffenden Buchstaben an! ‒8: ‒6: ‒1: A (‒1)3 F ‒23 K (‒2)·(‒2)·(‒2) P (‒2) + (‒2) + (‒2) B 3·(‒2) G (‒2) + (‒3) L (‒2)3 Q (‒3)2 C (+1)·(+1)·(+1) H 2·(‒3) M (‒1)6 R (‒2)0 D (‒1)·(‒1)·(‒1) I ‒2 – 2 – 2 N ‒13 S ‒20 E +1 + 1 + 1 J ‒61 O ‒1 – 1 – 1 T (‒1) + (‒1) + (‒1) 22 Berechne! a) (‒3)2 – 23·(‒4)2 + (‒32) = d) [(‒5)3 – 42]·[‒32 + (‒4)3] = b) 3·(4·5 – 13)3 – (33 – 24)2 = e) [(‒1)8·(‒2)5]2·(‒4)2 + (‒2)3 = c) 2·(3·4 – 9)3 – [23 – (‒3)2]9 = f) (‒3)3 – 22·[(‒4)2 + 53] = B 9 Fit für die 4 Klasse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mit Variablen arbeiten 23 Verwende die Klammernregeln und vereinfache! Kreuze nur korrekte Gleichungen an! (‒a) – [(+b) – (‒c)] = ‒a – b – c (‒a) + (+b) – (+a) = ‒2a + b (‒a) – [(‒b) – (‒a)] = 2a + b (‒a) – (‒b) – (+a) = ‒2a + b (‒a) – (+b) – (‒a) = –b (+b) – [(‒a) – (+c)] = ‒a + b + c (+a) + [(‒b) – (‒a)] = 2a – b (‒b) – [(‒b) + (+a)] = a 24 Potenziere! a) (‒5 x)2 b) (‒3a)3 c) (2 s)5 d) (‒a)0 e) (‒3b)4 25 Kreuze richtige Aussagen zum Umgang mit Potenzen an! Jede Basis mit dem Exponenten null ergibt null. Jede Basis mit dem Exponenten eins ergibt die Basis selbst. Eine negative Basis mit dem Exponenten null ergibt stets ‒1. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Jede Basis mit dem Exponenten zwei ergibt die doppelte Basis. 26 Schreibe als Term an und vereinfache! a) + ‒ ‒ a a a b b b a a b) a2 a a a a + + ‒ a a a a2 a a c) a3 a a a a a + ‒ ‒ ‒ a + a a a a a a a a a a a a a a a d) b3 b2 b b b b b + ‒ ‒ + + b b b b b a2 a a a a3 a a a a a3 a a a a a 27 Vereinfache den Term und mache die Probe! a) 6a3 – 5a2 + 4a – 3a2 + 2a3 – a2 + 2a – 3a3 + 2a2 – 6a Probe für a = 3 b) 4,3 x – 0,7x2 + 1,6 + 2,3 x2 – 5,9 + 0,6 x – x2 Probe für x = 1 c) 2 y2 – {3 y3 – [2 y – (y2 + y3 + 3 y)]} Probe für y = 2 d) 8a – {7b + (6 c – 3b) – [8a – (5b – 7c + 8a) + 19 c]} Probe für a = ‒1, b = 2, c = ‒3 28 Treffen folgende Aussagen für den Term 19 x3 – 26 x2 zu oder nicht? Kreuze an und begründe die Entscheidung! trifft zu trifft nicht zu Der Term kann nicht vereinfacht werden, da 26 größer als 19 ist. Potenzen werden subtrahiert, indem man die Exponenten subtrahiert. Man kann 19 x3 als Volumen eines Quaders und 26 x2 als Flächeninhalt eines Rechtecks auffassen und von einem Volumen kann ein Flächeninhalt nicht subtrahiert werden. Potenzen mit derselben Basis werden subtrahiert, indem man die Koeffizienten subtrahiert. Da die Basen der Potenzen gleich sind, kann der Subtrahend vom Minuenden abgezogen werden. 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
29 Die Abbildung zeigt ein Grundstück. a) x y x x b) x y y y y y y y 1) Gib eine vereinfachte Formel für den Umfang u des Grundstücks an! 2) Gib eine vereinfachte Formel für den Flächeninhalt A des Grundstücks an! 3) Berechne den Umfang u und den Flächeninhalt A des Grundstücks für x = 8,5 m und y = 5,2 m! 30 Kreuze jene Terme an, die zum gegebenen Term äquivalent sind! a) x8 (x4)2 ‒x8 (‒x4)2 x3 + x5 x·x7 x2·x3·x4 x12x3 (‒x)12(‒x)4 b) a6 (‒a)8 – a2 a3·a3 (‒a3)2 a9a3 (‒a)8a2 (‒a2)3 (‒a)2·a2·(‒a2) (‒a3)·(‒a)3 31 Treffen die folgenden Aussagen für den Term 3a·4a2 zu oder nicht? Kreuze an und begründe die Entscheidung! trifft zu trifft nicht zu Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Koeffizienten addiert und die Exponenten multipliziert. Das Produkt kann in der Form 3·4·a·a·a angeschrieben werden, weil das Kommutativgesetz gilt. Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Koeffizienten multipliziert und die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. Das Produkt kann als Volumen V eines Quaders mit V = 12a3 gedeutet werden. Das Produkt kann als Oberflächeninhalt O eines Quaders mit dem Grundflächeninhalt G = 4a2 und der Höhe h = 3a gedeutet werden. Der Term kann nicht vereinfacht werden, da die Exponenten nicht gleich sind. 32 Vereinfache durch Multiplizieren! a) 5 x2·3 x4 c) 7x y2·(‒2 x2) e) (‒3a3 b)·(‒6ab2) b) 1 _ 4y 3· 3 _ 4y d) (‒0,5a 4 b2)·0,2ab f) 5 _ 3x 2· 3 _ 5x 2 33 Vereinfache durch Dividieren! a) 18ab26ab c) 24a2 b34b3 e) 24a2 b34b2 b) (‒20 x2 y5)5 x4 y3 d) 18 y4 z6(‒3 y3 z4) f) (‒24 x3 y5 z2)(8 x y4 z3) 34 Kreuze nur korrekte Gleichungen an! “ x2 y __ 2 § 3 = x 6y3 ___ 8 x (5 x 3 y)2 = 25 x7 y2 “ x y2 __ 3 § 3 = x3 y 6 ___ 27 (3ab3)3 = 9a3 b9 “ 7x ___ 3 y3 § 2 = 49 x 2 ___ 9y 6 x2 (2 x y)4 = 8 x8 y4 11 Fit für die 4 Klasse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
35 Regeln für das Rechnen mit Potenzen a) Addieren und Subtrahieren 4,2a – 3,7a + 1,5a = 5 x3 – x3 – 8 x3 = 3 _ 5a 2 + 4 _ 7 a – 1 _ 3a 3 + 3 __ 15a 2 – 1 _ 3a 3 – 1 __ 14a = Potenzen mit der gleichen Basis und dem gleichen Exponenten werden addiert (subtrahiert), indem man die addiert (subtrahiert); die bleiben unverändert. b) Multiplizieren x5·x7 = 3a2·7a4 = 4 __ 15a 2·5 __ 24a 3· “ ‒ 3 _ 2 a 4 §= Potenzen mit der gleichen Basis werden multipliziert, indem man die Basis mit der Exponenten ; die Koeffizienten werden . c) Dividieren x7x5 = 21 a47a2 = 4 __ 15 a 5 “ ‒ 3 _ 2 a 4 §= Potenzen werden dividiert, indem man mit der Differenz der Exponenten ; die Koeffizienten werden . d) Potenzieren (a4)5 = (x2)10 = (b5)8 = (y3)20 = Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit der Exponenten potenziert. e) Potenzen mit gleichem Exponenten 53 a3 b3 = 3 2 x2 ___ 72 = Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man das Produkt (den Quotienten) mit dem gemeinsamen Exponenten . f) Potenzieren von Produkten und Quotienten (‒ 0,3a5 b c3)2 = “ ‒5a 2 ___ 3b § 3 = Ein Produkt (Quotient) wird potenziert, indem man jeden bzw. den Dividenden und den Divisor potenziert. B 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
36 Ordne jedem Term den passenden Buchstaben des äquivalenten Terms zu! (x – 2 y) (3 x + y) A 4a2 – 9b2 (x – 2 y)2 B 60 x2 – 64 x – 60 (2a + 3b) (2a – 3b) C 25a2 – 9b2 (2a + 3b)2 D x2 – 12 x y + 36 y2 (5a + 3b) (5a – 3b) E 3 x2 – 5 x y – 2 y2 (6 x – 10) (6 + 10 x) F 25a2 + 30ab + 9b2 (x – 6 y)2 G x2 – 4 x y + 4 y2 (5a + 3b)2 H 4a2 + 12ab + 9b2 37 Kreuze jene Terme an, die zum gegebenen Term äquivalent sind! a) a2 – a4 a2 (1 – a2) (a – a3) a (‒1) (a + a2)2 (a – a2) (a + a2) (‒a) (a – a3) (a – a2)2 (‒a2) (‒1 + a2) a3·(‒a) b) x4 – x6 x2 (x2 – x3) (x2 – x3)2 (‒x2)2 – (‒x3)2 (x2 – x3) (x2 + x3) (‒x4) (1 – x2) (x3 – x5) x (‒x)4 – (‒x)6 x4 – x3·x·x2 38 Ordne die Buchstaben der Formeln für den Inhalt A der markierten Flächen korrekt zu und zeige anhand von Berechnungen, wie man die verschiedenen Formeln in die jeweils andere Darstellung umformen kann! x y r s x s y r x y r s x s y r A A = x (r + y) – y (x – s) C A = y (r – s) + x s E A = r (x + y) – s x G A = x (y + r) – r s B A = x y + r (x – s) D A = x r + y s F A = x (r – s) + y r H A = y r + s (x – y) 39 Ordne den Termen den Buchstaben des jeweils äquivalenten Terms zu! (x + y)2 (x y)2 (x2 y2) (x y)2 (x2 – y2)2 (x2 y2) (‒x2) (x2 – y2) (‒y2) (x2 – y2) (x2 + y2) (‒x)2 (x + y)2 (‒x3 y3) (‒xy) 2 x (x3 + y3) (‒x2 y2)2 (x2 + y)2 (y2 – x y) (y2 + x y) x4 – y2 (2 x2 – y2) A x2 + 2 x y + y2 C x4 – 2 x2 y2 + y4 E x2 y2 G ‒x2 y2 + y4 I ‒x4 y2 B x4 + 2 x2 y + y2 D x4 + 2 x3 y + x2 y2 F 2 x4 + 2 x y3 H x4 – y4 J x4 y4 13 Fit für die 4 Klasse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
40 Ordne jedem Term den passenden Buchstaben des äquivalenten Terms zu! (‒x2 y3)2 A x4 + 2 x2 y2 + y4 (x2 + y2)2 B x2 y (x2 – y2) x4 y – x2 y3 C x y (‒x y2)2 x4 – 2 x2 y2 + y4 D (x2 – y2) (x2 + y2) x y3 (‒x y)2 E x2 (x2 y6) x4 – y4 F (x2 – y2)2 41 Gib eine Formel für den Umfang u und den Inhalt A der färbigen Fläche an! a) x y z b) z x y c) z x y u = u = u = A = A = A = 42 Multipliziere, vereinfache so weit wie möglich und führe die Probe durch! a) (1 – z2) (1 + z2) Probe: z = 4 b) (2 x2 – 5 x)2 Probe: x = 2 c) (‒2 x) (4 x + 7) Probe: x = 3 d) (4a + 7)2 Probe: a = 2 e) (5 – 6 k) (5 + 6 k) Probe: k = 1 f) 2 (r – 3 s) – 3 (5 s – 2 r) Probe: r = 2, s = 3 g) x (x + y2) – y (x2 – y) Probe: x = 1, y = 2 h) (2 x + y) y + x (6 x + y) Probe: x = 3, y = 2 43 Multipliziere bzw. potenziere und vereinfache so weit wie möglich! a) (a – 2b)2 d) (2b – a)2 g) (2ab) 2 ____ 2a b) (2a + b) (2b – a) e) (2a + b) (2a – b) h) 2a ____ (2b)2 c) (2ab)2 f) “ 2 __ ab § 2 i) (‒2ab) (2a – b) 44 Ergänze die fehlenden Faktoren! a) 15ab – 5a2 = 5·( ) = a·( ) = 5a·( ) b) 24 x2 y + 12 x y2 = 6·( ) = x·( ) = 12 x y·( ) c) 45ab2 – 15ab = 15·( ) = 5ab·( ) = 15ab·( ) d) 9 x2 – 18 x2 y2 = 9·( ) = x2·( ) = 9 x2·( ) e) 35 x y + 14 x = 7·( ) = x·( ) = 7x·( ) f) 40a3 b – 24ab = 8·( ) = ab·( ) = 8ab·( ) 14 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
45 Kreuze jene Terme an, die zum gegebenen Term äquivalent sind! a) 5 x2 y – 35 x y3 5 x y (x – 7y2) ‒5 (x2 y + 7x y3) 5 x (x y – 7y2) x y (5 x – 35 y2) 7x y (5 x – 5 y2) ‒5 x y (‒x + 7y2) b) 36a2 b2 + 24ab2 12ab2 (3a + 2b) ‒12ab2(‒3a – 2) 2ab2 (18a + 12) 12ab (3ab + 2) ‒3ab2(‒12ab – 8) 4ab2 (9a + 6) c) 9 r2 t – 27r3 t 9 r t (1 – 3 r2 t) 9 r2 t (1 – 3 r) ‒3 r2 t (‒3 + 9 r) r2 t (9 – 27r) 9 t (r – 3 r3) 9 r t (r – 3 r2) 46 Ordne den Formeln für den Flächeninhalt A bzw. den Umfang u die Bezeichnungen der färbigen Flächen korrekt zu! A B C D a b b a a b a‒b a b b a a b b a A = (a – b)2 A = (a + b) (a – b) A = (a + b)2 A = a2 – b2 A = a2 + 2ab + b2 A = a2 – 2ab + b2 u = 4 (a + b) u = 2 (a + b) + 2 (a – b) u = 4a u = 4 (a – b) u = 4a – 4b u = 4a + 4b 47 In der folgenden Aufgabe sind Terme mit Symbolen (anstatt Variablen) dargestellt. Unterstreicht jene Terme, die zu den gegebenen Termen 1) bis 7) äquivalent sind! 1) 2 – 2 2 – 2 ( – ) ( + ) ( – )2 ( – ) 2) + 2 + + 2 ( + )2 ( + 2 )2 (2 + )2 2 3) 45 2 – 9 5 (9 – ) (5 – 3 )2 5 2 – 3 2 9 (5 – ) 4) 4 – 3 2 (4 – 3 )2 (4 – 3 ) 4 ( – 3 ) (4 – 3 ) 5) ( + )2 – ( – )2 ‒4 2 + 2 2 – 2 4 6) ( – )2 + 2 2 – 4 + 2 2 – 2 ‒4 2 + 2 7) “ l + n § 2– “ l2 – n2 § 2 n 2 + 2 l 2 2 n 2 + 2 ln 2 n 2 – 2 l 2 2 lm B 15 Fit für die 4 Klasse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I 1 Zahlen und Maße 1.1 Rationale und irrationale Zahlen 1.01 Drei quadratische Grundstücke haben die unterschiedlichen Flächeninhalte A1, A2 und A3. Berechnet die Seitenlängen a1, a2 und a3! In welcher Eigenschaft unterscheiden einander die drei Ergebnisse? a1 a2 a3 A1 = 16m2 A2 = m2 A3 = 24m2 81 4 a1 = a2 = a3 = 1.02 Gegeben sind die Zahlen 4 _ 9und √2. Versucht beide Zahlen in der Dezimaldarstellung anzuschreiben! Was haben beide Zahlen gemeinsam? Worin liegen die Unterschiede? 4 _ 9= √2 = B B O Arbeitsheft S 3 1 Reelle Zahlen Deine Ziele in diesem Kapitel: • Aufgaben bearbeiten können, die nicht mit Hilfe rationaler Zahlen lösbar sind. • Reelle Zahlen als Vereinigung von rationalen und irrationalen Zahlen erkennen können. • Mit Wurzeln arbeiten können. • Zahlen sinnvoll runden und näherungsweise angeben können. • Anhand einer Übersicht über die Zahlbereiche das Zahlenverständnis vertiefen. 16 Wo kommen Zahlen vor, die nicht rational sind? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zahlen in der Darstellung z _ nmit z * Z und n * N* sind rationale Zahlen. Somit ist die Menge Q der rationalen Zahlen folgendermaßen definiert: Q = { z _ n | z * Z und n * N* } Dabei ist auch jede ganze Zahl z und damit auch jede natürliche Zahl n eine rationale Zahl, denn dafür kann jeweils n _ 1 = 2n __ 2 = 3n __ 3 = … bzw. z _ 1 = 2 z __ 2 = 3 z __ 3 = … geschrieben werden. Zahlen in unendlicher periodischer Dezimaldarstellung sind ebenso rationale Zahlen, da sich diese in Bruchdarstellung angeben lassen, zB: 0,4444444… = 0,• 4 = 4 _ 9. Gibt es nun überhaupt Zahlen, die nicht rational sind? Ist die Dezimaldarstellung von √2 endlich oder periodisch oder etwa unendlich, aber nicht periodisch? 1.03 Zeige, dass die Diagonalenlänge d eines Quadrats mit der Seitenlänge a = 1 keine rationale Zahl ist! Lösung: Wir führen einen so genannten indirekten Beweis. Dabei wird das Gegenteil der Behauptung angenommen und versucht einen Widerspruch zu erzielen. Dann muss nämlich die zuvor aufgestellte Behauptung gelten. Da nach dem pythagoräischen Lehrsatz 12 + 12 = d2 gilt, muss d2 = 2 und damit d = √2 sein. Die Annahme lautet nun: Es gibt eine rationale Zahl d mit d2 = 2. Dann muss sich d in der Form z _ nmit z * Z und n * N* darstellen lassen. Weiters wird vorausgesetzt, dass z _ nso weit wie möglich durchgekürzt ist und n > 1. Denn wäre n = 1, müsste d eine ganze Zahl sein. Das ist aber nicht möglich, da es keine ganze Zahl gibt, deren Quadrat gleich 2 ist. Da nun z _ nso weit wie möglich durchgekürzt ist, kann auch d 2 = z _ n· z _ nnicht weiter gekürzt werden. Somit ist auch d2 keine ganze Zahl. Und das ist ein Widerspruch zur Annahme d2 = 2. Daher kann √2 keine rationale Zahl sein. Die Zahl √2 hat keine endliche und keine periodische Dezimaldarstellung, sondern eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung: √2 = 1,414213562373095048801 688724209698078569671 875376948073176679737990… Zahlen, die eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung haben, nennt man irrationale Zahlen. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen anschreiben. Irrationale Zahlen können nur näherungsweise, also mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden, indem auf eine bestimmte Nachkommastelle gerundet wird. Alle rationalen Zahlen bilden gemeinsam mit allen irrationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen R. Bemerkung: Die Menge der irrationalen Zahlen bezeichnet man mit R\Q [lies: R ohne Q]. O A 1 1 d 17 Reelle Zahlen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AUFGABEN 1.04 Gegeben ist der Flächeninhalt A eines Quadrats. Ist die Maßzahl der Seitenlänge a eine rationale oder irrationale Zahl? Begründe die Entscheidung! a) A = 25m2 b) A = 26m2 c) A = 5,76 cm2 d) A = 5,77cm2 e) A = 1m2 f) A = 2m2 1.05 Sind die gegebenen Zahlen vermutlich rational oder irrational? Kreuze an! rational irrational rational irrational 4 1,449449449… ‒0,202002000200002… 5, ___ 271 58 __ 70 ‒82,7397356 1.06 Gib die Zahl in Dezimaldarstellung an! a) 1 _ 4 b) 5 _ 8 c) ‒ 57 __ 10 d) 2 _ 3 e) ‒ 4 _ 9 f) 25 __ 33 1.07 Gib die Zahl in möglichst einfacher Bruchdarstellung an! a) 0,8 b) ‒0, • 6 c) 0,81 d) ‒1,2 e) 1, • 3 f) 0, __ 63 1.08 Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen den folgenden beiden Zahlen liegen! a) 0,3 und 0, • 3 b) ‒ 5 _ 3 und ‒ 4 _ 3 c) 4 _ 7 und 4 _ 5 d) ‒0,11 und ‒0,101 1.09 Runde die Zahl √2 korrekt auf 1) 5, 2) 6, 3) 7, 4) 8, 5) 9, 6) 10 Nachkommastellen! a) Gib an, wie viele natürliche Zahlen zwischen 5,8 und 9,2 liegen! b) Gib an, wie viele ganze Zahlen zwischen ‒6,63 und 1,27 liegen! c) Gib an, wie viele rationale Zahlen zwischen ‒0,8 und 4,992 liegen! d) Gib an, wie viele reelle Zahlen zwischen ‒0,953 und ‒0,952 liegen! 1.11 Kreuze nur richtige Aussagen an! Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. Eine irrationale Zahl kann rational sein. Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Eine rationale Zahl kann irrational sein. Eine reelle Zahl kann irrational sein. Jede irrationale Zahl ist eine reelle Zahl. 1.12 Zeige, dass die Dezimaldarstellung der folgenden Zahl unendlich ist, und begründe, dass die Zahl dennoch rational ist! a) 5 _ 6 b) ‒ 1 __ 15 c) 7 __ 18 d) ‒ 11 __ 30 e) 44 __ 45 f) 1 ___ 900 1.13 Zeige mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass √3 keine rationale Zahl ist! 1.14 Die Menge der rationalen Zahlen hat unendlich viele Elemente. Auf der Zahlengeraden liegen daher zB zwischen 1 und 2 unendlich viele Punkte. Überlegt, warum dennoch Zahlen wie √2 und unendlich viele weitere irrationale Zahlen bei diesen Punkten nicht dabei sind! I A I D Ó D Ó D Ó D 1.10 D I I O A O A A C Ó Übung – 4pg6ys 1 2 18 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Wurzeln aus einer reellen Zahl Die Quadratwurzel 1.15 Ein Rechteck mit den Seitenlängen 8 cm und 2 cm soll in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt umgeformt werden. Welche Seitenlänge x hat dieses Quadrat? Lösung: Der Flächeninhalt A des Rechtecks beträgt 8·2 = 16 (cm2). Der Flächeninhalt A des Quadrats beträgt somit auch 16 cm2. Dieser lässt sich mit A = x·x bzw. A = x2 berechnen. Der Flächeninhalt A ist mit 16 cm2 gegeben, also 16 = x2. Daher ist x = 9__ 16= 4. Die Seite x des Quadrats ist 4 cm lang, da 4·4 = 42 = 16. Sind a, b º 0 und ist b2 gleich a, dann ist b die Quadratwurzel (oder Wurzel) aus a. Man bezeichnet diese Zahl mit √a. √a = b gilt genau dann, wenn a = b 2 . Beim Radizieren oder einfach (Quadrat-)Wurzelziehen ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen der Radikand. 1.16 Berechne jeweils die Seitenlänge des Quadrats mit dem Flächeninhalt 1) 49 cm2, 2) 6,25 cm2, 3) 16 __ 9 cm2, 4) 80 cm2! Welche Eigenschaft(en) haben die Maßzahlen jeweils? Lösung: 1) 9__ 49= 7. Die Seitenlänge beträgt 7cm. Die Maßzahl 7 ist eine natürliche Zahl. 2) 9___ 6,25= 2,5. Die Seitenlänge beträgt 2,5cm. Die Maßzahl 2,5 ist eine rationale Zahl. 3) 9 __ 16 __ 9 = 4 _ 3. Die Seitenlänge beträgt 4 _ 3 cm. Die Maßzahl 4 _ 3 = 1, • 3ist eine Zahl mit periodischer Dezimaldarstellung, also eine rationale Zahl. 4) 9__ 80= 8,944271 91 … . Die Seitenlänge beträgt rund 8,9 cm. Die Maßzahl 9__ 80ist eine Zahl mit unendlicher, nicht periodischer Dezimaldarstellung, also keine rationale Zahl. Es handelt sich um eine irrationale Zahl. Die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl kann • eine natürliche Zahl, • eine positive rationale Zahl oder • eine positive irrationale Zahl sein. Bemerkungen: √0 = 0, da 0·0 = 0. Die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl kann kein Ergebnis im Bereich der reellen Zahlen haben, da weder das Quadrieren einer positiven noch das Quadrieren einer negativen Zahl jemals ein negatives Produkt ergibt. O 8 cm 2 cm x x A A Ó O Ó Demo – x4i2ur 19 Reelle Zahlen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
1.17 Schreibe die Maßzahlen an, die den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge n angeben, wenn n * N* und n ª 20! Lösung: Für n = 1 ist der Flächeninhalt des Quadrats 1. Für n = 2 ist der Flächeninhalt des Quadrats 4. … Für n = 20 ist der Flächeninhalt des Quadrats 400. Alle diese Maßzahlen lauten nun: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Zahlen, die das Quadrat einer natürlichen Zahl n º 1 sind, nennt man Quadratzahlen. Daraus folgt, dass die Quadratwurzel aus einer Quadratzahl stets eine natürliche Zahl ist. Die Zahl √n mit n * N* ist irrational, falls n keine Quadratzahl ist. AUFGABEN 1.18 Ergänze die fehlende(n) Zahl(en)! a) 9__ 16= 4, da 4 = 16. d) 9___ 0,04= , da 2 = . b) 9 _ = 9, da 9 2= . e) 9 __ 1 _ 100 = _, da “ 1 _ § = _. c) 9 __ 64 _ 49 = _, da “ 8 _ 7 § = _. f) 9 __ a 2= , da ( ) 2= . 1.19 Berechne im Kopf! a) 9__ 25 b) 9__ 100 c) 9__ 64 d) 9__ 121 e) 9___ 0,04 f) 9 __ 1 ___ 100 g) 9_ 1 1.20 Berechne im Kopf! a) 9 __ 14 2 b) 9 ___ 0,8 2 c) 9 __ “ 3 _ 7 § 2 d) “ 9__ 90 § 2 e) “ 9___ 67,2 § 2 f) “ 9 __ 11 __ 20 § 2 g) “ 9_ x § 2 1.21 Verbinde gleiche Zahlen! a) 9__ 169 9__ 121 9__ 400 9__ 225 9__ 144 9____ 10000 15 12 13 100 11 20 b) 9___ 1,44 9___ 1,69 9___ 0,04 9___ 0,01 9___ 0,09 9___ 0,16 0,3 0,1 0,2 0,4 1,3 1,2 c) 9 _ 1 _ 4 9 _ 4 _ 9 9 __ 1 _ 16 9 __ 4 _ 25 9 _ 1 _ 9 9 __ 1 _ 25 1 _ 4 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3 2 _ 5 1 _ 5 D O 1 4 9 16 … O O O O I 20 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.22 Markiere gleiche Zahlen mit gleichen Farben! 1.23 Begründe, dass die angegebene Quadratwurzel eine natürliche Zahl ist! a) 9_ 4 b) 9_ 9 c) 9__ 25 d) 9__ 81 e) 9__ 169 f) 9__ 400 1.24 Schätze den Wert der Quadratwurzel! Überlege dir dazu benachbarte Quadratzahlen! a) 9__ 35 b) 9__ 50 c) 9__ 80 d) 9__ 85 e) 9__ 104 f) 9__ 145 1.25 Ermittle mit dem Taschenrechner und runde jeweils auf Tausendstel! Was fällt auf? 1) 9___ 0,005 2) 9___ 0,05 3) 9__ 0,5 4) 9_ 5 5) 9__ 50 6) 9__ 500 7) 9___ 5000 1.26 Ermittle ohne Taschenrechner! Was fällt auf? 1) 9___ 0,0009 2) 9___ 0,09 3) 9_ 9 4) 9__ 900 5) 9__ 90000 6) 9__ 9000000 1.27 Welche der angegebenen Wurzeln haben ein Ergebnis im Bereich der reellen Zahlen? 9 __ 6 – 8 9 __ 0,1 9 __ ‒25 9 __ 4·9 9 __ 9 – 5 1.28 Sind die gegebenen Zahlen rational oder irrational? Kreuze an! rational irrational rational irrational rational irrational 9__ 12 0,3 2 9_ 2 9__ 16 0, • 3 9___ 0,01 9__ 49 9 __ 0, • 3 4 + 9_ 4 1.29 Ein Sportplatz soll einen Flächeninhalt von a) 400m2, b) 900m2, c) 2500m2, d) 4225m2 haben und quadratisch sein. Welche Seitenlänge hat dieser Platz? 1.30 Eine quadratische Tischfläche mit dem Inhalt von a) 5m2, b) 8m2, c) 11m2, d) 14m2 soll rundherum mit einer Leiste verziert werden. Berechne die Länge der Leiste! Runde dabei auf Millimeter! 1.31 Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt umgeformt werden. Welche Seitenlänge x hat dieses Quadrat? Runde gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle! a) a = 6,25 cm; b = 4 cm c) a = 18m; b = 8m e) a = 95 cm; b = 3,5 cm b) a = 10dm; b = 6,4dm d) a = 102,4mm; b = 2,5mm f) a = 100m; b = 40m 1.32 Ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlängen a und b soll in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt umgeformt werden. Welche Seitenlänge x hat dieses Quadrat? Runde gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle! a) a = 19,6m; b = 5m c) a = 96,8dm; b = 2,5dm e) a = 75m; b = 10,5m b) a = 20,25 cm; b = 8 cm d) a = 49 cm; b = 4 cm f) a = 104,1 cm; b = 13 cm O I 4 9_ 4 22 9__ 16 9__ 64 42 9 __ 2 2 ( 9__ 16)2 16 8 3 9_ 8 A O D O D O I O I O O O O 21 Reelle Zahlen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv
a) Bilde die Quadratzahlen von 2, 20, 200 und 2000! Was fällt auf? b) Bilde die Quadratzahlen von 3, 30, 300 und 3000! Was fällt auf? a) Bilde die Quadratwurzeln von 4, 40, 400 und 4000! Was fällt auf? b) Bilde die Quadratwurzeln von 25, 250, 2500 und 25000! Was fällt auf? 1.35 Ein Quadrat hat die Seitenlänge 5 cm. Berechne die Seitenlänge eines anderen Quadrats, das einen um 20% a) größeren, b) kleineren Flächeninhalt hat! 1.36 Ermittle alle reellen Zahlen a, für welche die folgende Gleichung gilt: a) a2 = 9 b) a2 = 169 c) a2 = 200 d) a2 = 0 e) a2 = ‒25 1.37 Begründe, dass Quadratwurzeln nur für reelle Zahlen a º 0 definiert sind! Die Kubikwurzel 1.38 Ein Würfel hat ein Volumen V von 125 cm3. Berechne die Kantenlänge a! Lösung: Für das Volumen V eines Würfels mit der Kantenlänge a gilt: V = a·a·a = a3 Da V = 125 cm3, gilt 125 = a3. Die Kantenlänge a = 5 cm, da 5·5·5 = 53 = 125. Sind a, b º 0 und ist b3 gleich a, dann ist b die Kubikwurzel (oder dritte Wurzel) aus a. Man bezeichnet diese Zahl mit 3 9 __ a . Es gilt 3 9 __ a= b genau dann, wenn a = b 3 (a, b º 0). Bemerkung: Die Zahl 3 im Wurzelsymbol wird als Wurzelexponent bezeichnet. Kubikwurzeln lassen sich einfach mit dem Taschenrechner ermitteln. Die meisten Geräte haben eine Taste ^ oder x Ú , die durch Betätigen der 2nd -Taste die Funktion x 9_ oder Ú 9_ erhält. Um die Kubikwurzel aus 512 zu ziehen, gibt man etwa Folgendes ein: 3 2nd ^ 5 1 2 = oder 3 2nd x Ú 5 1 2 = . Als Ergebnis wird 8 angezeigt. AUFGABEN 1.39 Ein Würfel hat ein Volumen V von a) 64 cm3, b) 512m3, c) 1 331 dm3, d) 17576mm3. Berechne die Kantenlänge a! 1.40 Berechne im Kopf! a) 3 9_ 1 b) 3 9_ 8 c) 3 9___ 0,001 d) 3 9_ 1 _ 8 e) 3 9__ 1 __ 64 f) 3 9_ 0 g) 3 9___ 1 000 1.41 Berechne im Kopf! a) 3 9__ 4 3 b) 3 9__ 87 3 c) 3 9___ 0,42 3 d) 3 9__ 90 3 e) 3 9__ 64 3 f) 3 9__ 0 3 g) 3 9____ 1 000 3 O I 1.33 1.34 O I D O O A O a a a V O O O 22 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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