1.4 Reelle Zahlen geometrisch darstellen Längen geometrischer Figuren 1.73 Konstruiere mit Hilfe eines Rechtecks eine Strecke der Länge 9__ 34! Lösung: Das Rechteck muss die Seitenlängen 5 und 3 haben, dann gilt für die Länge der Diagonalen der pythagoräische Lehrsatz 9____ 5 2 + 32= 9__ 34. Als Längeneinheit wählen wir Zentimeter. Die Diagonalenlänge eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 ist √2. Ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2 hat die Diagonalenlänge √3. Ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √3 hat die Diagonalenlänge √4 usw. Theoretisch kann diese Aufzählung beliebig lang fortgesetzt werden. Demnach kann man sich Folgendes zumindest vorstellen: Alle Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen n mit n º 1 lassen sich als Längen konstruieren. AUFGABEN 1.74 Konstruiere mit Hilfe eines Rechtecks eine Strecke der Länge a) 9__ 13, b) 9__ 52, c) 9__ 61! 1.75 Konstruiere mit Hilfe eines Quadrats eine Strecke der Länge a) 9__ 18, b) 9__ 32, c) 9__ 50! 1.76 Konstruiere ein Quadrat, dessen Diagonale d die Länge a) 9__ 72c m, b) 9__ 162c m hat! 1.77 Welches der rechtwinkeligen Dreiecke mit den gegebenen Kathetenlängen hat eine Hypotenuse, deren Länge (in Zentimeter) eine natürliche Zahl ist? Kreuze an! a = 3 cm, b = 4 cm a = 5 cm, b = 7cm a = 7cm, b = 24 cm a = 4 cm, b = 5 cm a = 5 cm, b = 12 cm a = 8 cm, b = 30 cm 1.78 Mithilfe der nebenstehenden „Wurzelschnecke“ lassen sich Strecken der Länge √1, √2, √3, √4, … konstruieren. 1) Erkläre den Konstruktionsgang dieser Figur! 2) Wie würde die Konstruktion für eine Strecke der Länge 9__ 13fortgesetzt werden? 3) Konstruiere die Wurzelschnecke vom Anfang (Strecke der Länge √1) bis zur Strecke der Länge √6! D O 3 cm 5 cm √34 cm D O D O D O O I √2 √3 √4 √5 √6 √7 √8 √9 √10 1 = √1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 √11 √12 O A Ó Ó Demo – w2y7ez 27 Reelle Zahlen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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