2.4 Mit Bruchtermen arbeiten Erweitern und kürzen 2.72 Ein Quader hat das Volumen 5a __ 3b und ein Würfel hat das Volumen 5b __ 3a. Dabei ist a < b mit a, b * R+. Gib an, welcher Körper das größere Volumen hat! Lösung: Ein Vergleich der beiden Terme ist in der vorliegenden Form nur schwer möglich. Haben aber beide Bruchterme denselben Nenner, kann der Vergleich durchgeführt werden: Dazu erweitern wir den ersten Bruchterm mit a: 5a __ 3b = 5a·a ____ 3b·a = 5a2 ___ 3ab Den zweiten Bruchterm erweitern wir mit b: 5b __ 3a= 5b·b ____ 3a·b= 5b2 ___ 3ab Da a < b und a, b * R+, ist a2 < b2 und daher 5a 2 ___ 3ab < 5b2 ___ 3ab, da 5a 2 < 5b2. Der Würfel hat ein größeres Volumen als der Quader. 2.73 Sind die beiden Terme 3 x __ y und 3 x y ___ y2 (mit y ≠ 0) äquivalent? Begründe die Antwort! Lösung: Ja, denn das Erweitern mit y ändert nichts am Wert des Terms. Werden Zähler und Nenner eines Bruchterms mit demselben Term multipliziert, so ändert sich nur die Darstellung des Bruchterms. Dies nennt man Erweitern von Bruchtermen. A __ B = A·C ___ B·C (für Terme A, B, C mit B, C ≠ 0) 2.74 Stelle den Term a) 2p2 ___ 4p 5 (mit p ≠ 0), b) u 2 – v2 ____ u – v (mit u ≠ v) möglichst einfach dar! Lösung: a) 2p2 ___ 4p 5 = 2p22p2 _____ 4p 52p2 = 1 ___ 2p3 oder einfacher: 2p2 ___ 4p5 = 1 ___ 2p3 b) u 2 – v2 ____ u – v = (u + v)·(u – v) ________ u – v = (u + v)·(u – v)(u – v) ____________ (u – v)(u – v) = u + v ___ 1 = u + v oder einfacher: u 2 – v2 ____ u – v = (u + v)·(u – v) _________ u – v = u + v Werden Zähler und Nenner eines Bruchterms durch denselben Term dividiert, so ändert sich nur die Darstellung des Bruchterms. Dies nennt man Kürzen von Bruchtermen. A __ B = AC ___ BC (für Terme A, B, C mit B, C ≠ 0) AUFGABEN 2.75 Stelle den Term möglichst einfach dar! Welche Bedingungen müssen gelten? a) 3 x __ x b) 4 x __ x2 c) 3 x2 y3 ____ 6 y d) 7x3 y ___ 7x3 y e) 24a 4 b 5 c 4 ______ 72a2 b c f) e x·7e ____ 14e2 D O D A D O 1 2 1 3 1 1 D O 52 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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