2.6 Mathematische Modelle und die Wirklichkeit Ungleichungen 2.134 Für welche reellen Zahlen x gilt 4 x – 5 > 7? Lösung: 4 x – 5 > 7 w 4 x > 12 w x > 3 Für alle x, die größer als 3 sind, ist die Ungleichung erfüllt. Das Lösen von Ungleichungen erfolgt grundsätzlich so wie das Lösen von Gleichungen. Es gelten auch hier Elementarumformungsregeln. Ein wesentlicher Unterschied ist jedoch folgender: Wird bei einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um: Elementarumformungsregeln für Ungleichungen Für Terme A, B, C gilt: A + B < C É A < C – B A·B < C É A < C __ B (B > 0) A·B < C É A > C __ B (B < 0) A – B < C É A < C + B A __ B< C É A < C·B (B > 0) A __ B< C É A > C·B (B < 0) Bemerkung: Diese Regeln gelten auch, wenn man „<“ und „>“ durch „ª“ und „º“ ersetzt. Sie gelten ebenfalls, wenn alle Ungleichheitszeichen umgedreht werden. 2.135 Für welche reellen Zahlen b gilt 7 – 3b ª 22? Lösung: 7 – 3b ª 22 ‒3b ª 15 Nun wird durch ‒3 dividiert: Das Ungleichheitszeichen dreht sich um. b º ‒5 Für alle b, die größer gleich ‒5 sind, ist die Ungleichung erfüllt. AUFGABEN 2.136 Für welche reellen Zahlen x gilt die folgende Ungleichung? a) 15 x + 8 ª 23 c) 4 x – 9 ª 2 x + 11 e) 4 x + 3 ____ 8 º 2 (x – 1) _____ 4 g) 2,5 (x – 7) < 0 b) 2 x + 3 > 9 d) 7x – 16 > 5 x – 4 f) x (3 x + 3) ______ 3 < x (4 x + 4) ______ 4 h) (2 x + 3)·(4 – x) > 2 – 2 x 2 2.137 Schreibe die rechte Seite der Ungleichung korrekt an, die nach der Umformung entsteht! a) ‒2 x > 4 b) ‒ 1 _ 3x > 6 c) ‒20 > ‒5p d) ‒ 2 _ 3 a < 4 _ 9 x < x < p > a > 2.138 Für welche reellen Zahlen x gilt die folgende Ungleichung? a) 10 – 2 x > ‒8 c) 4 – 2 x > 10 x – 20 e) ‒ 1 _ 3 “ x + 6 §< 3 g) 5 – x ___ 2 + 5 º x _ 3 b) 24 – 3 x < ‒6 x d) 5 x + 17 º 9 x + 57 f) x2 – 16 > (x + 2)2 h) 3 x – 4 x2 ª (2 x + 1) (5 – 2 x) 2.139 Für welche reellen Zahlen x gilt die folgende Ungleichung? a) 6,6 x > 9,9 x + 2,2 + 7,7x c) (x + 1) (x – 1) ª (x + 3) (x – 3) e) (2 x + 1)2 – 1 ª (2 x + 4) (2 x – 3) b) 2 (x – 3) º 4 “ 1 – x _ 3 § d) (x – 4) (x + 4) º (x + 6) (x – 6) f) (3 x – 5) 2 – (2 x – 1)2 º 5 x2 + 11 O O O O I D O O 63 Variablen, Terme, Gleichungen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=