3.29 Löse das lineare Gleichungssystem ‒4 x + y = 3 8 x – 2 y = ‒6 mit der Komparationsmethode! Lösung: Wir drücken aus beiden Gleichungen die Variable y aus: ‒4 x + y = 3 w y = 4 x + 3 8 x – 2 y = ‒6 w 2 y = 8 x + 6 w y = 4 x + 3 Die beiden erhaltenen Terme für y werden gleichgesetzt: 4 x + 3 = 4 x + 3 An dieser Stelle kann man schon erkennen, dass die Gleichung für alle x * R gilt. Subtrahiert man nämlich noch auf beiden Seiten (4 x + 3), erhält man: 0 = 0 (wahre Aussage). Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung erfüllt, erfüllt auch die zweite Gleichung. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Diese müssen jedoch die Gleichung y = 4 x + 3 erfüllen. Ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung (ein Zahlenpaar) oder unendlich viele Lösungen (wobei die zugehörigen Punkte auf einer Geraden liegen). AUFGABEN 3.30 Löse das lineare Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode! a) x + 3 y = 9 b) ‒3 x + 2 y = ‒4 c) 4 x + 3 y = 15 d) ‒x + 3 y = ‒2 ‒2 x + 3 y = 9 7x – 3 y = 1 ‒8 x – 6 y = 3 3 x – 9 y = 6 3.31 Löse das lineare Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode! a) 2 x + y = 0 b) ‒x – 4 y = ‒8 c) ‒8 x + 5 y = ‒33 d) 3 x + 2 y = ‒8 ‒8 x + y = ‒20 x + 4 y = ‒10 ‒2 x – y = ‒15 ‒12 x – 8 y = 32 3.32 Löse das lineare Gleichungssystem mit der Komparationsmethode! a) x – 7y = ‒2 b) 5 x + y = 8 c) 9 x + 5 y = 8 d) x + 2 y = 7 ‒2 x + 14 y = 4 ‒5 x – y = 9 2 x + y = 1 x – 3 y = 2 3.33 Löse das lineare Gleichungssystem mit einer der drei Lösungsmethoden! a) x + 2 y = 13 d) 3 x + 3 y = 16,5 g) 4 x + y = 10 1 _ 2 j) x = 2 7x + y = 13 2 x – 1,5 y = ‒1,25 ‒x – 1 _ 4 y = ‒2 5 _ 8 x = ‒3 b) ‒11 x – 2 y = ‒20 e) 1,5 x + 4 y = 23 h) 3 x + 9 _ 2 y = 17 1 _ 4 k) ‒x – 7y = 0 5,5 x + y = 10 ‒3 x – 8 y = ‒34 y = 3 _ 2 ‒3 x + 2 y = 0 c) 2 x + 5 y = 44 f) 7x + 2 y = ‒6,5 i) 3 _ 4 x – 6 y = 1 _ 2 l) 44 x + 2 y = 153 x = 2 ‒3 x + 2 y = ‒1,5 ‒ 1 _ 4 x + 2 y = ‒ 1 _ 6 ‒0,5 x + 5 y = 51 3.34 Vervollständige 1) das Gleichungssystem A so, dass dieses kein Zahlenpaar als Lösung hat, 2) das Gleichungssystem B so, dass dieses unendlich viele Zahlenpaare als Lösung hat, die als Punkte alle auf einer Geraden liegen! A x + y = 5 B x + y = 5 x + y = x + y = O O Ó O O O D I Ó Demo – w57p9s 83 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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