Reelle Zahlen EXTRABLATT 1.8 Gibt es da noch mehr? AUFGABEN Nicht alle Gleichungen sind in der Menge der natürlichen Zahlen lösbar. Bereits zur Lösung von 5 + x = 2 benötigt man die Menge der ganzen Zahlen. Bei 3·x = 2 ist die Menge der rationalen und bei x2 = 8 die Menge der reellen Zahlen erforderlich. Betrachtet man die Gleichung x2 + 1 = 0, nützen auch die reellen Zahlen auch nichts mehr. Denn damit die Gleichung eine Lösung hat, müsste x2 = ‒1 sein. Da aber das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist (zB: 3·3 = 9 oder (‒4)·(‒4) = 16), steht man vor einem großen Problem. Der italienische Mathematiker Gerolamo CARDANO (1501‒1576) wollte die Gleichung x·(10 – x) = 30 lösen, fand aber als Lösungen dafür nur die Ausdrücke 5 + 9__ ‒5und 5 – 9__ ‒5. Ein anderer italienischer Mathematiker, Raffaele BOMBELLI (1526‒1572), benennt Wurzeln aus negativen Zahlen „piu di meno“ (mehr von weniger) und „meno di meno“ (weniger von weniger) und stellt dafür sogar Rechenregeln auf, die letztlich heute noch Gültigkeit haben. René DESCARTES nennt diese Zahlen „imaginär“ und Leonhard EULER führt eine „Zahl“ i ein, sodass Folgendes gelten kann: i2 = ‒1. Damit und mit BOMBELLIs Rechenregeln kann man nun weitere geheimnisvolle Zahlen bilden: (2·i)2 = 22 ·i2 = 4·(‒1) = ‒4 (3·i)2 = 32 ·i2 = 9·(‒1) = ‒9 (4·i)2 = 42 ·i2 = 16·(‒1) = ‒16 … Und auf einmal hat man offenbar Zahlen geschaffen, deren Quadrate negativ sind. Mit dieser Idee lassen sich nun Zahlen der Form a + b·i (mit a, b * R) bilden, wobei i die imaginäre Einheit ist, Zahlen der Form b·i imaginäre Zahlen und Zahlen der Form a + b·i komplexe Zahlen, bei denen a der Realteil und b·i der Imaginärteil ist. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Mehr dazu erfahrt ihr in Mathematik verstehen 7. 1.138 Frank behauptet, er habe die Zahl ‒5 in seinen Taschenrechner eingegeben, diese dann quadriert und darauf ‒25 erhalten. Welchen Eingabefehler wird Frank vermutlich dabei gemacht haben? 1.139 Zahlen können als Punkte auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Nun liegen diese aber so unendlich dicht beieinander, dass keine weiteren Zahlen mehr Platz finden. Will man nun den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitern, muss man in die Zahlenebene ausweichen und dafür Zahlenpaare (in der Form von Punkten) als Zahlen definieren. Überlegt, wie man solche Zahlen anschreiben könnte! 1 –1 –1 –2 –3 –3 –2 2 3 1 O 2 3 37 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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