In Figuren bzw. geometrischen Körpern, in denen rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren vorkommen, kann der pythagoräische Lehrsatz zur Längenberechnung verwendet werden. Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlängen a, b und der Hypotenusenlänge c gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: c2 = a2 + b2 oder c = 9 _____ a2 + b2 b2 = c2 – a2 oder b = 9 _____ c2 – a2 a2 = c2 – b2 oder a = 9 _____ c2 – b2 Beachte: Im Allgemeinen gilt: 9 _____ a 2 + b2 ≠ 9 __ a 2 + 9 __ b 2 und 9 _____ a 2 – b2 ≠ 9 __ a 2 – 9 __ b 2 5.03 Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man den Flächeninhalt A = 96 cm2 und die Kathetenlänge a = 16 cm. Berechne den Umfang u des Dreiecks! Lösung: Aus A = a·b ___ 2 erhält man durch Umformung die Länge b der zweiten Kathete: b = 2·A ___ a = 2·96 ___ 16 = 12 (cm) Für die Hypotenusenlänge c gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: c = 9 _____ a 2 + b2= 9 _______ 16 2 + 122 = 9 _______ 256 + 144= 9 ___ 400= 20 (cm) u = 16 + 12 + 20 = 48 (cm) Der Umfang des Dreiecks beträgt 48 cm. 5.04 Formuliere für das in der Zeichnung dargestellte rechtwinkelige Dreieck den pythagoräischen Lehrsatz und berechne für x = 4,8 cm und z = 5 cm die fehlende Länge y! Lösung: x2 + y2 = z2 Beachte: Die Hypotenuse z liegt dem rechten Winkel gegenüber, die beiden Katheten x und y schließen den rechten Winkel ein. y = 9 _____ z 2 – x2= 9 ______ 5 2 – 4,82 = 9 ________ 25 – 23,04= 9 ___ 1,96= 1,4 (cm) Die Kathete y hat eine Länge von 1,4 cm. 5.05 Überprüfe rechnerisch, ob es sich bei einem Dreieck mit den Seitenlängen x = 35mm, y = 17mm, z = 40mm um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt! Lösung: Ist das Dreieck rechtwinkelig, so erfüllen seine Seitenlängen den pythagoräischen Lehrsatz. Beachte, dass als mögliche Hypotenuse nur die Seite z, als längste Seite des Dreiecks, in Frage kommen kann! Durch Einsetzen in die in Aufgabe 5.04 gefundene Gleichung x2 + y2 = z2 erhält man: 352 + 172 = 402 w 1 225 + 289 = 1 600 1514 ≠ 1 600 Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig. 5.06 Alex geht auf seinem Weg zur Schule (S) von seiner Wohnung (W) aus 45m nach Süden und danach 108m nach Osten durch einen Park. Nimmt er eine Abkürzung quer durch den Park, so spart Alex 36m. Stelle die Aufgabe zeichnerisch dar und überprüfe rechnerisch! Lösung: ___ WX+ __ XS= 45 + 108 = 153 (m) ___ WS= x = 9 ________ 45 2 + 1082 = 9 __________ 2025 + 11 664= 9 _____ 13689= 117(m) Differenz = 153 – 117 = 36 (m) O D O I y x z O I D O I x 108 m 45 m X S W 127 Die pythagoräische Satzgruppe 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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