7.5 Volumen und Oberflächeninhalt des Drehkegels Volumen des Drehkegels 7.60 Für das Volumen V eines Drehzylinders gilt wie für das Volumen eines Prismas die Formel V = G·h, wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe ist. Kann demnach für das Volumen eines Drehkegels angenommen werden, dass dafür die Formel für das Volumen V einer Pyramide mit V = G·h ___ 3 gilt? Überlegt, wie dies festgestellt werden kann! 7.61 Ein Drehkegel hat den Radius r = 5 cm und die Höhe h = 12 cm. Dem Kegel ist jeweils eine sechsseitige Pyramide umgeschrieben und eine solche eingeschrieben. 1) Berechne das Volumen Ve der eingeschriebenen Pyramide! 2) Berechne das Volumen Vu der umgeschriebenen Pyramide! 3) Das Volumen V des Drehkegels ist mit 100 π cm3 ≈ 314 cm3 angegeben. Kann man aus Ve, Vu und V eine Formel für das Volumen eines Drehkegels erahnen? Lösung: 1) Ge = 6· 52· 9_ 3 _ 4 = 37,5·√3; Ve = G e· h ___ 3 = 37,5· 9_ 3·12 __ 3 = 150 √3 ≈ 260 (cm3) 2) Für die Seitenlänge a der umgeschriebenen Sechsecksgrundfläche gilt: 5 = a· 9_ 3 _ 2 w a = 10 _ 9_ 3 Gu = 6· “ 10 _ 9_ 3 § 2· 9_ 3 __ 4 = 6· 25· 9_ 3 _ 3 = 50 √3; Vu = G u· h ___ 3 = 50· 9_ 3·12 __ 3 = 200 √3 ≈ 346 (cm3) 3) Es ist 260 < 314 < 346 und damit Ve < V < Vu. Würde man nicht nur sechsseitige, sondern zwölfseitige, 24-seitige, … Pyramiden ein- und umschreiben, so würde sich das Volumen des Drehkegels immer besser einschranken lassen. Für das Volumen V eines Drehkegels kann man die Formel V = G·h ___ 3 erahnen. Das Volumen V jeder Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h lässt sich mit der Formel V = G·h ___ 3 berechnen. Wenn nun die Grundfläche kein n-Eck, sondern ein Kreis ist, gilt diese Formel ebenso. Dies lässt sich mit Hilfe der höheren Mathematik beweisen, wir legen daher für jeden Drehkegel mit dem Radius r, dem Grundflächeninhalt G = r2 π und der Höhe h Folgendes fest: V = G·h ___ 3 = r2 π·h ____ 3 . Für das Volumen V eines Drehkegels mit dem Radius r und der Höhe h gilt: V = r 2 π h ___ 3 AUFGABEN 7.62 Berechne das Volumen V der geraden Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h! a) G = 53 cm2; h = 12 cm c) G = 6,1m2; h = 6,42m e) G = 72,7cm2; h = 1,8m b) G = 941 dm2; h = 33dm d) G = 8,05m2; h = 0,9dm f) G = 1,01m2; h = 99mm C h r D O O 189 Rotationskörper 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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