Dreiecke Jedes Dreieck kann durch eine innerhalb des Dreiecks liegende Höhe in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegt werden, in denen der pythagoräische Lehrsatz gilt. 5.69 Zeichnet 1) ein ungleichseitig spitzwinkeliges, 2) ein ungleichseitig stumpfwinkeliges, 3) ein gleichschenkeliges, 4) ein gleichseitiges Dreieck und zerlegt es durch Einzeichnen einer geeigneten Höhe in je zwei rechtwinkelige Dreiecke! Erklärt euch nun gegenseitig, wie der pythagoräische Lehrsatz hier zur Anwendung gebracht werden kann! Alternativ dazu könnt ihr eure Ergebnisse auch auf einem Plakat veranschaulichen. 5.70 Im Internet findet Anna zur Berechnung des Flächeninhalts A eines gleichseitigen Dreiecks die Formel A = a 2· 9 __ 3 ____ 4 . Leite die Formel her! Lösung: Zeichnet man im Dreieck ABC zur Seite AB die Höhe h, so erhält man zwei kongruente rechtwinkelige Dreiecke AMC und MBC. Betrachtet man das Dreieck AMC mit der Hypotenuse a und den Katheten a _ 2und h, so erhält man durch Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes für die Höhe h: h = 9 ______ a 2 – “ a _ 2 § 2= 9 _____ a 2 – a 2 __ 4 = 9 ______ 4a 2 ___ 4 – a2 __ 4 = 9 ___ 3a 2 ___ 4 = a 9 __ 3 ___ 2 . Setzt man in der Formel A = a·h ___ 2 = a _ 2· h für h = a· 9 __ 3 ___ 2 ein, so erhält man A = a _ 2· a 9 __ 3 ___ 2 = a2· 9 __ 3 ____ 4 . Ist a die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, dann gilt für die Höhe h und den Flächeninhalt A des gleichseitigen Dreiecks: h = a 9 __ 3 ___ 2 A = a2 9 __ 3 ___ 4 Ist c die Länge der Basis und a die Schenkellänge eines gleichschenkeligen Dreiecks, dann gilt für die Höhe h c : h c= 9 ______ a2 – “ c _ 2 § 2 AUFGABEN 5.71 Gib für alle rechtwinkeligen Dreiecke in der Abbildung den pythagoräischen Lehrsatz an! a) b) c) d) 5.72 Forme die in Aufgabe 5.71 gefundenen Gleichungen so um, dass jede Variable durch die anderen ausgedrückt wird! C A a A B a a C M a 2 A B a a C h a 2 a a a h c a a hc D I x y b h a n m t j r g g e e k s s s z O 139 Die pythagoräische Satzgruppe 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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