166 8 Kompetenzen 8.5 Gebrochen rationa®e Funktionen Lernzie®e: º Funktionen vom Typ f(x) = c _ x , c * ℝ in verschiedenen Darste®®ungsformen beschreiben und ermitte®n können º Die Begriffe Po®ste®®e, Definitions®ücke und Asymptote kennen º Mit Funktionen vom Typ f(x) = c _ x und f(x) = c _ x2 , c * ℝ in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: FA-R 1.6 Schnittpunkte von Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können FA-R 3.1 Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = c x^(-1) als entsprechende Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Funktionen, bei denen die Variab®e x im Nenner vorkommt, heißen gebrochen rationa®e Funktionen. Es werden zwei spezie®®e Funktionen dieses Funktionstyps genauer betrachtet. Funktionen vom Typ f(x) = c _ x Die Eigenschaften von Funktionen vom Typ f(x) = c _ x , c * R analysieren wir mit der Funktion f mit f(x) = 3 _ x . Die Wertetabe®®e zeigt, dass die Funktion f für das Argument x = 0 nicht definiert ist, da der Funktionswert f(0) = 3 _ 0 nicht definiert ist. Der Wert x = 0 muss aus der Definitionsmenge der Funktion ausgesch®ossen werden. Damit ergibt sich a®s maxima®e Definitionsmenge: D = R\{0}. An der Definitions®ücke x = 0 besitzt der Graph eine sogenannte Po®ste®®e, d. h. die Funktionswerte gehen bei Annäherung an die Definitions®ücke gegen + • oder ‒ •. Gehen hingegen die x Werte gegen + • oder ‒ •, so gehen die Funktionswerte gegen 0. Der Graph nähert sich daher sowoh® der x-Achse a®s auch der y-Achse beliebig nahe an, ohne die Achsen je zu erreichen. Man sagt: Die x-Achse und die y-Achse sind Asymptoten der Funktion f. Am Graphen und an der Wertetabe®®e kann man auch erkennen, dass f(1) = 3 ist. Das entspricht genau dem Parameter c von f(x) = c _ x . Funktionen vom Typ f(x) = c _ x mit c * R º Eine Funktion vom Typ f(x) = c _ x mit c * ℝ\{0} hat bei x = 0 eine Definitions®ücke: D = ℝ\{0}. º Der Graph von f heißt Hyperbe® und hat bei x = 0 eine Po®ste®®e. º Die senkrechte und die waagrechte Koordinatenachse sind Asymptoten des Graphen von f. º Der Punkt P = (1 1 c) ®iegt immer auf dem Graphen von f, da f(1) = c _ 1 = c. º Wird das Vorzeichen von c gewechse®t, wird der Graph an der x Achse gespiege®t. Ó Techno®ogie Darste®®ung Einf®uss von c a872v8 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 –10 –8 –6 –4 –2 0 f(1) = 3 3 – x f(x) = x f (x) ‒ 10 ‒ 0,3 ‒ 4 ‒ 0,75 ‒ 3 ‒ 1 ‒ 2 ‒ 1,5 ‒ 1 ‒ 3 ‒ 0,5 ‒ 6 ‒ 0,1 ‒ 30 0 nicht def. 0,1 30 0,5 6 1 3 2 1,5 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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