88 Quadratische Gleichungen > Lösen quadratischer Gleichungen 5 Zum Lösen quadratischer G®eichungen können je nach Art verschiedene Methoden angewendet werden. Im Fo®genden werden drei verschiedene Arten von quadratischen G®eichungen unterschieden (a ≠ 0, a, b, c * R): Fa®® 1: a · x 2 + c = 0 (b = 0) Fa®® 2: a · x2 + b · x = 0 (b ≠ 0, c = 0) Fa®® 3 a: x2 + p · x + q = 0 (a = 1, b = p, c = q) Fa®® 3 b: a · x2 + b · x + c = 0 (a, b, c be®iebig) G®eichungen der Form a · x2 + c = 0 Quadratwurze® Die Quadratwurze® einer nicht negativen Zah® x ist jene nicht negative Zah®, die zum Quadrat wieder x ergibt. Kurz: 9 _ x = a É x = a2 (a, x * R, a º 0, x º 0) 424 Berechne das Ergebnis. a) 9 _ 4 b) 9 __ 36 c) 9 _ 1 d) 9 __ 225 e) 9 ____ 160 000 f) 9 ___ 1 369 Fo®gende Aufgabenste®®ung ist gegeben: Finde a®®e ree®®en Zah®en, die mit sich se®bst mu®tip®iziert 9 ergeben. Man kann diese Aufgabenste®®ung durch fo®gende G®eichung beschreiben: x · x = 9 w x2 = 9 (1) Lösen durch Ausprobieren: Betrachtet man die G®eichung, so erkennt man ®eicht durch Ausprobieren, dass sowoh® + 3 a®s auch ‒ 3 quadriert 9 ergeben. Die Lösungsmenge der G®eichung ist daher gegeben durch: L = {‒ 3; + 3} (2) Lösen durch Wurze®ziehen: Es ist zu beachten, dass das Quadratwurze®ziehen zum Lösen dieser quadratischen G®eichung keine Äquiva®enzumformung ist, da man dadurch nur die positive Lösung + 3 erha®ten würde. Man würde die Lösung ‒ 3 ver®ieren. Um anzudeuten, dass man die G®eichung wie bei (1) ®öst, wird in diesem Buch fo®gende Schreibweise verwendet: x2 = 9 | ± 9 _ w x1, 2 = ± 3 oder x 1 = + 3 und x 2 = ‒ 3 w L = {‒ 3; + 3} Lösungen einer quadratischen G®eichung Die Lösungen der G®eichung x2 = a (a > 0) sind gegeben durch x 1, 2 = ± 9_ a . 425 Löse die fo®genden G®eichungen in R. (1) 5 x2 – 80 = 0 (2) 5 x2 = 0 (3) 5 x2 + 80 = 0 5 x2 – 80 = 0 | + 80 5 x 2 = 0 | : 5 5 x2 + 80 = 0 | – 80 5 x2 = 80 | : 5 x 2 = 0 | ± 9 _ 5 x2 = ‒ 80 | : 5 x2 = 16 | ± 9 _ x2 = ‒ 16 | ± 9 _ x1, 2 = ± 4 x1, 2 = 0 x 1, 2 = ± 9___ ‒ 16 L = {± 4} L = {0} L = { } (2 Lösungen) (1 Lösung) (keine ree®®e Lösung) Lösungsfä®®e einer quadratischen G®eichung Eine quadratische G®eichung kann keine, eine oder zwei ree®®e Lösungen besitzen. Vorwissen Merke Merke Muster Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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