120 Winkelfunktionen > Harmonische Schwingungen 7 Gegeben ist der Graph einer harmonischen Schwingung s. Zeichne A, f und T in den Graphen von s ein und gib die Funktionsgleichung der harmonischen Schwingung an. a) b) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1 2 3 4 –1 –2 –3 s(t) s t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1 2 3 4 –1 –2 –3 s(t) s t Gegeben sind die beiden Schwingungen f mit f(t) = sin(t) und s mit s(t) = 3 · sin(2t). Beschreibe die Zusammenhänge zwischen f und s. Gib auch die Schwingungsdauer und die Frequenz von s an. Die Amplitude wird dreimal so groß. Die Frequenz verdoppelt sich (dies ist auch am Graphen erkennbar: s legt zwischen 0 und 2π zwei komplette Schwingungen zurück, f nur eine). Die Schwingungsdauer wird halbiert. Schwingungsdauer: T = πs. Frequenz: f = 1 _ π Gegeben ist die Funktion f mit f(t) = sin(t) und die Funktion s. Skizziere die beiden Graphen und beschreibe ihre Zusammenhänge. Gib die Frequenz und die Schwingungsdauer von s an. a) s(t) = 2 · sin(2t) c) s(t) = 2 · sin(3t) e) s(t) = 3 · sin(4t) b) s(t) = 5 · sin(2t) d) s(t) = 5 · sin(3t) f) s(t) = 4 · sin(4t) Zusammenfassung Bogenmaß α rad = b _ r . Ist r = 1, dann gilt α rad = b _ 1 = b. Zusammenhang eines Winkels α in Bogenmaß und Gradmaß: α rad _ π = α° _ 180 Eigenschaften der Winkelfunktionen Sinusfunktion Cosinusfunktion Tangensfunktion Definitionsmenge ℝ ℝ ℝ\{π _ 2 + k · π}, k ∈ ℤ Wertemenge [− 1; 1] [− 1; 1] ℝ Nullstellen x = k · π, k ∈ Z x = π _ 2 + k · π, k ∈ ℤ x = k · π, k ∈ ℤ Maxima π _ 2 +k·2π, k ∈ ℤ k · 2π, k ∈ ℤ keine Minima x = 3π _ 2 +k·2π, k ∈ ℤ x = π + k · 2π, k ∈ ℤ keine Periodizität 2π periodisch 2π periodisch π periodisch Symmetrie ungerade: f(x) = − f(− x) gerade: f(x) = f(− x) ungerade: f(x) = − f(− x) Es gilt: sin(x + π _ 2 ) = cos(x) bzw. cos(x − π _ 2 ) = sin(x) 457 0 –π π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π π –– 2 3π –– 2 1 2 3 –1 –2 –3 –4 y f(t) = sin(t) s(t) = 3 sin(2 t) t Muster 458 459 Ó Arbeitsblatt Harmonische Schwingungen 4wh4gz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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