132 Folgen > Monotonie und Grenzwert 8 Zeige, dass die Folge a n = n 2 − 8n + 10nicht monoton ist. Man berechnet die ersten Folgenglieder: (3, − 2, − 5, − 6, − 5, − 2, ...) Man erkennt, dass die Folge bis zum 4. Glied fällt, dann aber wieder zu wachsen beginnt. a 3 = − 5 > a 4 = − 6 a b e r a 4 = − 6 < a 5 = − 5 Die Folge ändert ihr Monotonieverhalten und ist daher nicht monoton. Zeige, dass die Folge nicht monoton ist. Stelle fest, ob die Folge alternierend ist. a) a n = (n − 2) 2 b) a n = (− 1 _ 3) n+1 c) a n = (− 2) n d) a n = n 2 · (− 1) ne) a n = − (n − 4) 2 Schranken von Folgen Zeige, dass alle Glieder der Folge a n = 3n − 2 _ n im Intervall [1; 3] liegen. Man berechnet die ersten Folgenglieder und stellt sie als Punkte in einem Koordinatensystem graphisch dar: (1; 2; 2, 33; 2, 5; 2, 6; 2, 67; 2,71; ...) Es liegt die Vermutung nahe, dass alle Folgenglieder in [1; 3] liegen. Das soll überprüft werden. Linke Intervallgrenze: Rechte Intervallgrenze: 1 ≤ a n a n ≤ 3 1 ≤ 3n − 2 _ n | ·n > 0 3n − 2 _ n ≤ 3 | ·n > 0 n ≤ 3n − 2 | + 2 − n 3n − 2 ≤ 3n | − 3n 2 ≤ 2n | : 2 − 2 ≤ 0 1 ≤ n Diese Ungleichungen gelten für alle natürlichen Zahlen ab 1. Alle Glieder der Folge sind demnach größer oder gleich 1 und kleiner als 3. Wie man im Beispiel sieht, sind alle Folgenglieder größer oder gleich 1 bleiben aber unter 3. Man nennt 1 eine untere Schranke und 3 eine obere Schranke der Zahlenfolge. Folgenglieder können Schranken der Zahlenfolge sein. Schranken Eine reelle Zahl s heißt untere Schranke von a n, wenn für alle Folgenglieder gilt: s ≤ a n Eine reelle Zahl S heißt obere Schranke von a n, wenn für alle Folgenglieder gilt: a n ≤ S Besitzt an eine untere (obere) Schranke, heißt die Folge nach unten (oben) beschränkt. a n heißt beschränkt, wenn die Folge nach unten und oben beschränkt ist. Zeige, dass der gegebene Wert eine untere Schranke der Folge ist. a) 1 _ 7; a n = 3n _ 2n + 5 b) − 1; a n = n _ 2 − 4n c) 1 _ 2; a n = 5n − 1 _ 3n d) 1; a n = 9n + 2 _ 7n − 2 e) 0; a n = 1 _ 2n + 5 Zeige, dass der angegebene Wert eine obere Schranke der Folge ist. a) 0,5; a n = − 2n + 3 _ 3n b) 2; a n = 2 − 3n _ 2n + 2 c) 3; a n = 4n _ 1 + 2n d) 1,5; a n = 4n − 1 _ 3n e) 1; a n = 2n _ 4n + 3 Muster 503 n an 2 4 6 8 10 20 40 0 504 Muster 505 n an 2 4 6 8 10 1 2 3 0 Merke 506 507 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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