133 Folgen > Monotonie und Grenzwert Überprüfe, ob der angegebene Wert eine untere Schranke der Folge ist. a) 1 _ 2; a n = 3 _ n b) 2; a n = 7n + 2 _ 3n c) 1; a n = 2 − 1 _ 4n d) 2,5; a n = 2n _ n − 1 e) 0; a n = 1 _ 3n + 2 Stelle die beschränkte Folge an graphisch dar und bestimme, falls vorhanden, die kleinste obere und die größte untere Schranke. a) a n = 4n + 1 _ 3 + 2n b) a n = n _ 3 − 2n c) a n = 7 _ 1 + n 2 d) a n = − 4n + 2 _ 2n e) a n = 2 − 6n _ 2 + 2n f) a n = (− 1) n+1 · n Begründe warum die Folge a n = ( 1 _ 3) n beschränkt ist und gib die kleinste obere Schranke an. Begründe, dass bei einer streng monoton wachsenden Folge a1 immer eine untere Schranke ist. Grenzwert einer Folge Es gibt Folgen, deren Folgenglieder sich für größer werdende n einem bestimmten Wert immer weiter annähern, ohne ihn aber jemals zu erreichen. Dieser Wert wird als Grenzwert bezeichnet. Anhand der Folge an = 6n _ 1 + 2n soll dies veranschaulicht werden. Dazu berechnet man einige Folgenglieder: a 1 = 2;a2 = 2,4; a3 ≈ 2, 57; ...; a50 ≈ 2, 97; a 1000 ≈ 2, 999 Rein intuitiv kann man vermuten, dass sich die Folgenglieder a = 3annähern und 3 somit der Grenzwert ist. Die Darstellung im Koordinatensystem scheint diese Vermutung ebenfalls zu untermauern. Diese intuitive Annäherung an den Grenzwert einer Folge kann „mathematischer“ beschrieben werden. Dazu steckt man um den Grenzwert einen beliebig kleinen Bereich a ± ε (eine so genannte ε-Umgebung) ab. Es müssen ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren Folgenglieder in diesem Bereich liegen. Lässt sich eine solche ε-Umgebungfür jedes noch so kleine positive reelle ε finden, nähern sich die Folgenglieder dem Wert a beliebig nahe an und a wird Grenzwert von an genannt. Grenzwert einer Folge Findet man für jedes noch so kleine ε ∈ ℝ + einen bestimmten Index n 0, ab dem der Abstand der weiteren Folgenglieder ak(k > n 0) zum Grenzwert kleiner als ε ist, wird a der Grenzwert der Folge a n genannt. D.h. a ist der Grenzwert der Folge a n, wenn für jedes ε ∈ ℝ + ein Index n 0 existiert, sodass für alle k > n0 gilt: |ak − a| < ε. Schreibweise: lim n→∞ a n = a(„Limes (Grenzwert) von an für n gegen unendlich ist a“) Eine Folge an heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Eine Folge an heißt divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt. Eine Folge an heißt Nullfolge, wenn der Grenzwert 0 ist. 508 509 510 511 n an 2 4 6 8 10 1 2 3 0 n an 2 4 6 8 10 1 2 3 0 ε ε Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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