136 8.3 Arithmetische Zahlenfolgen Lernziele: º Die Definition einer arithmetischen Folge kennen º Die rekursive und die explizite Darstellung einer arithmetischen Folge angeben können º Arithmetische Folgen graphisch darstellen können Gegeben ist die Folge (5, 8, 11, 14, 17, 20, ...). Ein Folgenglied ergibt sich aus dem vorhergehenden durch die Addition von 3. 5 ⇒ + 3 8 ⇒ + 3 11 ⇒ + 3 14 ⇒ + 3 17 ⇒ + 3 20 … Von einer arithmetischen Zahlenfolge spricht man, wenn sich ein Folgenglied durch Addition von d aus dem vorhergehenden ergibt bzw. wenn die Differenz d aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. a 1 ⇒ + d a 2 ⇒ + d a 3 ⇒ + d a 4 … d > 0bedeutet ein streng monotones Steigen der Folgenglieder, d < 0ein streng monotones Fallen. Für d = 0ist die Folge konstant. Bestimme die ersten fünf Folgenglieder der arithmetischen Folge mit a1 = 6und d = − 2 sowie 1) die explizite 2) die rekursive Termdarstellung der Folge. Die Glieder der Folge können auf zwei Arten berechnet werden. 1. Art: 2. Art: a 1 = 6 a 2 = a 1 + d = 6 + (− 2) = 6 − 2 = 4 a 2 = a 1 + d = 4 a 3 = a 2 + d = 4 + (− 2) = 4 − 2 = 2 a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) +d = a1 + 2d = 2 a 4 = a 3 + d = 2 + (− 2) = 2 − 2 = 0 a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d) +d = a1 + 3d = 0 a 5 = a 4 + d = 0 + (− 2) = − 2 a 5 = a 4 + d = (a 1 + 3d) +d = a1 + 4d = − 2 a n+1 = a n + (− 2) = a n − 2 a n = a 1 + (n − 1)d = 6 + (n − 1)(− 2) = − 2n + 8 rekursive Darstellung explizite Darstellung Arithmetische Zahlenfolge Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant ist. Die Differenz wird mit d bezeichnet. Rekursive Darstellung: a n+1 = a n + dmit dem Startwert a1 Explizite Darstellung: a n = a 1 + (n − 1)d (n ∈ ℕ\{0}, d ∈ ℝ) Bestimme die rekursive und die explizite Darstellung der arithmetischen Folge. a) a 1 = − 4; d = 2 c) a 1 = 0; d = − 3 e) a 1 = 1,5; d = 0 b) a 1 = 5 _ 6, d = − 1 _ 2 d) a 1 = − 7, d = − 5 f) a 1 = 3; d = 3 Kompetenzen Muster 526 Merke 527 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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