141 Folgen > Geometrische Zahlenfolgen Unter dem geometrischen Mittel von zwei Zahlen a > 0und b > 0versteht man die Zahl 9 _a · b . Berechne die ersten fünf Glieder der geometrischen Folge bn = 4·2 n und berechne das geometrische Mittel von b2 und b4 bzw. von b 3 und b5 Was fällt dir auf? b 1 = 4·2 1 = 8, b 2 = 16, b3 = 32, b4 = 64, b5 = 128 9 _b 1 · b 3 = 9 _8·32= 9 _ 256 = 16 = b2 9 _b 2 · b 4 = 9 _16·64= 4·8 = 32 = b3 Jedes Glied einer geometrischen Folge ist das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder. Daher auch der Name „geometrische Folge“. Berechne die ersten sechs Folgenglieder und bestimme das geometrische Mittel von b1 und b 3 bzw. b 4 und b6. a) b n = 0,01 · 10 n b) b n = 1 _ 9 · 6 n c) b n = 2 _ 49 · 14 n d) b n = 2 _ 25 · 5 n e) b n = 0,2·3 n Zeige, dass für eine geometrische Folge b n allgemein gilt: bn = 9 _b n−1 · b n+1 für bn > 0. Von einer geometrischen Folge kennt man b3 = 20und b5 = 80. Bestimme b 1 und q und gib b n rekursiv und explizit an. Es gilt: b5 = b 3 · q 2 → 80 = 20 · q2 → q = ±2. Weiters ist b 3 = b 1 · q 2. D.h. 2 0 = b 1 · 2 2 → b 1 = 5 Rekursive Darstellung: bn+1 = b n · (± 2), b1 = 5 Explizite Darstellung: bn = 5 · (± 2) n−1 Bestimme b1 und q der geometrischen Folge und gib bn rekursiv und explizit an. a) b 2 = 2; b4 = 0, 5 c) b 5 = 1 _ 256; b 6 = 1 _ 2048 e) b 4 = 0, 009; b6 = 0,00009 b) b 3 = 16; b6 = − 128 d) b 2 = 2 _ 3; b 7 = 2 _ 729 f) b 3 = − 18; b5 = − 162 Zwischen den Zahlen 5 und 5120 sind vier natürliche Zahlen so einzufügen, dass eine geometrische Folge von sechs Gliedern entsteht. Bestimme die Folgenglieder. Ein Schachbrett besteht aus 64 quadratischen Feldern. Auf das erste Feld wird ein Reiskorn gelegt, auf das zweite Feld zwei Reiskörner. Auf die nächsten Felder legt man jeweils die doppelte Anzahl von Reiskörnern wie auf dem vorangehenden Feld. a) Begründe, warum die Anzahl der Reiskörner auf den einzelnen Feldern eine geometrische Folge bildet. b) Stelle das explizite Bildungsgesetz der Folge b n (n ∈ ℕ\{0}) auf, das die Anzahl der Reiskörner auf dem n-ten Feld beschreibt. c) Gib die Anzahl der Reiskörner auf dem 64. Feld an. In Anwendungen kann es sinnvoll sein, geometrische Folgen mit dem Folgenglied b 0 beginnen zu lassen, d.h. n ∈ ℕ zu betrachten. Ein Kapital b0 wird n Jahre lang angelegt. Der jährliche Änderungsfaktor (= Aufzinsungsfaktor) ist q. b n (n ∈ ℕ) gibt das Kapital am Ende von n Jahren an. 1) Gib die Höhe des Kapitals b1, b 2, b 3, b 4 und b5 an, wenn keine Abhebung erfolgt. 2) Stelle das explizite Bildungsgesetz für das nach n Jahren vorhandene Kapital b n auf. 3) Stelle das rekursive Bildungsgesetz für die Höhe des Kapitals nach n + 1 Jahren auf. 4) Gib den der Berechnungen zugrunde liegenden effektiven Jahreszinssatz an. a) b 0 = 1 200 €, q = 1,012 c) b 0 = 830 €, q = 1,0075 b) b 0 = 4 200 €, q = 1,025 d) b 0 = 8 540 €, q = 1,0213 Muster 554 555 556 Muster 557 558 559 Ó Arbeitsblatt Kontextaufgaben zu geometrischen Folgen za4c3g 560 561 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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