142 Folgen > Geometrische Zahlenfolgen 8 Auf einem Nährboden wird zu Beginn die Fläche A0 (in cm 2) einer Pilzkultur gemessen. Pro Stunde vergrößert sich die Fläche um p %. A n (n ∈ ℕ) gibt die Fläche der Pilzkultur nach n Stunden an. 1) Gib die Größe der Fläche nach 1, 2, 3, 4 bzw. 5 Stunden an. 2) Die Größen der Flächen bilden eine geometrische Folge. Gib das explizite Bildungsgesetz für die nach n Stunden von der Pilzkultur eingenommene Fläche A n an. 3) Stelle das rekursive Bildungsgesetz für die von der Pilzkultur eingenommene Fläche nach n + 1 Stunden auf. 4) Beurteile, ob es sinnvoll ist, auch Werte von A n für n ∈ ℝ 0 + zu berechnen. 5) Stelle die Graphen von A n für n ∈ ℕ und n ∈ ℝ 0 + in einem Koordinatensystem graphisch dar und erkläre den Unterschied. a) A 0 = 1,5 cm 2, p = 10 b) A 0 = 2cm 2, p = 20 c) A 0 = 0,5 cm 2, p = 25 d) A 0 = 2,5 cm 2, p = 34 Eine radioaktive Substanz hat zu Beginn eine Masse M0 (in mg), die pro Stunde um p % abnimmt. M n (n ∈ ℕ) gibt die nach n Stunden vorhandene Masse an. 1) Begründe, warum die Massen M0, M 1, M 2, …eine geometrische Folge bilden. 2) Gib das explizite Bildungsgesetz der Folge M n an. 3) Beurteile, ob es sinnvoll ist, auch Werte von M n für n ∈ ℝ 0 + zu berechnen. 4) Stelle die Graphen von Mn für n ∈ ℕ und n ∈ ℝ 0 + in einem Koordinatensystem graphisch dar und erkläre den Unterschied. a) M 0 = 30 mg, p = 10 b) M 0 = 25 mg, p = 5 c) M 0 = 50 mg, p = 30 d) M 0 = 40 mg, p = 25 Zusammenfassung Darstellung von Folgen Zahlenfolgen können rekursiv oder explizit dargestellt werden. Die Glieder einer Folge können als Punkte auf der Zahlengeraden oder als Punkte in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Spezielle Folgen (mit den Startwerten a1 bzw. b1) Arithmetische Folge Geometrische Folge Rekursive Darstellung: an+1 = a n + d b n+1 = b n · q Explizite Darstellung: a n = a 1 + (n − 1)d b n = b 1 · q n−1 Monotonie, Schranken und Grenzwerte von Folgen º Gilt für eine Folge a n < a n+1 (a n > a n+1), ist sie streng monoton steigend (fallend). º Eine reelle Zahl s heißt untere Schranke von a n, wenn für alle natürlichen n > 0gilt: s ≤ a n º Eine reelle Zahl S heißt obere Schranke von a n, wenn für alle natürlichen n > 0gilt: an ≤ S º Besitzt a n eine untere bzw. obere Schranke, heißt die Folge nach unten bzw. oben beschränkt. º a n heißt beschränkt, wenn die Folge nach unten und oben beschränkt ist. º a ist der Grenzwert der Folge a n, wenn für jedes ε ∈ ℝ + ein Index n 0 existiert, sodass für alle k > n0 gilt: |ak − a| < ε 562 563 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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