15 1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten Lernziele: º Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln deuten und zwischen den Darstellungsformen wechseln können º Rechengesetze für Wurzeln kennen und anwenden können º Die Methode des partiellen (teilweisen) Wurzelziehens kennen Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.1 E infache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Ziehe die Wurzel. a) 9 _ 144 b) 9 _ 625 c) 3 9 _ 8 d) 3 9 _ 125 e) 4 9 _ 81 f) 4 9 _10000 Ziehe die Wurzel. a) 9 _ a 2 b) 9 _ a 8 c) 3 9 _ a 3 d) 3 9 _ a 9 e) 4 9 _ a 4 f) 4 9 _ a 8 Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen Das Potenzieren ist die Umkehrung des Wurzelziehens. Lässt man bei Potenzen auch Bruchzahlen im Exponenten zu, kann man zwischen der Potenzschreibweise und der Wurzelschreibweise einen Zusammenhang erkennen: Potenzschreibweise Wurzelschreibweise (a 1 _ 2) 2 = a 2 _ 2 = a 1 = a (9 _ a ) 2 = a (a 2 _ 3) 3 = a 6 _ 3 = a 2 ( 3 9 _ a 2 ) 3 = a 2 (a 3 _ 4) 4 = a 12 _ 4 = a 3 ( 4 9 _ a 3 ) 4 = a 3 Führt man beide Schreibweisen zusammen, ergibt sich: a 1 _ 2 = 9 _ a , a 2 _ 3 = 3 9 _ a 2 , a 3 _ 4 = 4 9 _ a 3 Es ist sinnvoll, Potenzen mit rationalen Exponenten zu definieren und diese als alternative Schreibweise für Wurzeln zu interpretieren. Potenzen mit rationalen Exponenten Für a ∈ ℝ, a ≥ 0, m, n ∈ ℕ\{0} gilt: a m _ n = n 9 _ a m Durch folgende Überlegungen kann diese Definition ebenfalls motiviert werden: a m _ n = a m _ n a m _ n = n 9 _ (a m _ n ) n Das Potenzieren mit n und das Ziehen der n-ten Wurzel heben sich auf. a m _ n = n 9 _ a m _ n · n Eine Potenz wird potenziert, in dem man die Exponenten multipliziert. a m _ n = n 9 _ a m Nach dem Kürzen von n erhält man die gewünschte Definition. Kompetenzen Vorwissen 59 60 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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