153 Reihen > Geometrische Reihe Ein Ball wird aus 1,5 m Höhe fallen gelassen. Er prallt vom Boden ab und steigt wieder senkrecht 1,35 m nach oben. Nachdem er erneut vom Boden abgeprallt ist, steigt er nur mehr 1,215 m hoch u.s.w. Die Höhen, die der Ball aufsteigt, bilden eine geometrische Folge. Welchen Weg hat der Ball zurückgelegt, nachdem er sechsmal aufgesprungen ist und wieder zu Boden fällt? Summenformel für die unendliche geometrische Reihe Man betrachtet zum Beispiel die geometrische Folge bn = 0,5 n und berechnet einige Folgenglieder: b 1 = 0,5 1 = 0, 5 b 7 = 0,5 7 ≈ 0, 0078 b 2 = 0,5 2 = 0,25 b 11 = 0,5 11 ≈ 0, 000488 b 3 = 0,5 3 = 0,125 b 25 = 0,5 25 ≈ 0, 00000003 Die Folgenglieder nähern sich dem Wert 0, da die Potenzen von q = 0,5eine Nullfolge bilden. Summiert man alle Folgenglieder bn schrittweise und stellt sie graphisch als Flächeninhalt von Quadraten dar, dann stellt sich die Frage: Wird das Quadrat jemals voll? Die Antwort lautet nein, da die jeweils zuletzt betrachtete Fläche immer halbiert wird. Es gibt aber einen Grenzwert für den Flächeninhalt des derart entstehenden Quadrats, der als Summe der Folgenglieder einer unendlichen geometrischen Folge definiert wird: s = s ∞ = lim n→∞ s n = lim n→∞ b 1 · q n − 1 _ q − 1 = b 1 · lim n→∞ q n − 1 _ q − 1 = b 1 · 0 − 1 _ q − 1 = b 1 · − 1 _ q − 1 = b 1 · 1 _ 1 − q = b 1 _ 1 − q Mit b 1 = 0,5und q = 0,5ergibt sich somit die Summe s = 0, 5 _ 1 − 0, 5 = 1. Summenformel für die unendliche geometrische Reihe Gilt − 1 < q < 1bzw.|q| < 1, bilden die Potenzen von q immer eine Nullfolge: lim n→∞ q n = 0 Für die Summe der Folgenglieder einer unendlichen geometrischen Folge gilt: s = b 1 _ 1 − q (|q| < 1) Kreuze die geometrischen Folgen an, für die die Summe der Folgenglieder der unendlichen geometrischen Folge berechnet werden kann. A b n = 3·0,1 n B b n = 0,1·3 n C b n = 1,2 · 0,06 nD b n = 6 _ 5 · 2 n E b n = 11 _ 7 · ( 7 _ 11) n Ergänze den Text so, dass er mathematisch korrekt ist. Die Summe der Folgenglieder der unendlichen geometrischen Folge (1) lässt sich bestimmen, da (2) ist. (1) (2) 0, 4 + 0, 08 + 0, 016 + ... q = 1, 02 2, 4 + 2, 88 + 3, 456 + ... q = 0, 2 1, 02 + 1, 0404 + ... q = 1, 2 Berechne die Summe aller Folgenglieder der geometrischen Folge. a) b 1 = 23; q = 0, 31 b) b n = − 6 · 0,1 n c) b n = − 2,4 · 0,2 5 n d) b n = 0, 541 n Berechne die Summe der unendlichen geometrischen Reihe. a) 1, 5 + 0,75 + 0, 375 + ... c) 60 + 15 + 3,75 + 0, 9375 + ... e) 100 + 20 + 4 + 0,8 + ... b) 1 _ 3 + 1 _ 15 + 1 _ 75 + 1 _ 375 + ... d) 7 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... f) 50 + 6, 25 + 0,78125 + ... 613 1 – 16 1 – 2 1 – 8 1 – 4 Merke 614 615 616 617 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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