168 Vektoren > Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum 10 Betrag eines Vektors und der Einheitsvektor Berechne den Betrag des Vektors. a) |(− 3 5 ) | b) |( 8 − 2 )| c) |( 0 7) | d) |(− 3 0 ) | e) |( a 0) | f) |( a b) | Berechne den Einheitsvektor des angegeben Vektors. a) ( 3 4) b) (− 24 − 10) c) (− 6 8 ) d) ( 7 3) e) ( a 0) f) |( a b) | Analog zur Vektorrechnung in der Ebene kann man auch im Raum die Länge (den Betrag) eines Vektors und den Einheitsvektor berechnen. Betrag eines Vektors und der Einheitsvektor Den Betrag eines Vektors ⇀a = ( x a y a z a ) berechnet man im ℝ 3 folgendermaßen: | ⇀a | = 9 _x a 2 + y a 2 + z a 2 ⇀a 0 ist der Einheitsvektor von ⇀a: ⇀a 0 = 1 _ | ⇀a | · ⇀a Berechne den Einheitsvektor ⇀a 0 des Vektors ⇀a = ( − 3 5 2 ). | ⇀a | = 9 ___________ (− 3) 2 + 5 2 + 2 2 = 9 _ 38 ≈ 6,16(s. Skizze) ⇀a 0 = 1 _ 9 38 · ( − 3 5 2 ) ≈ ( − 0, 49 0, 81 0, 32 ) Berechne die Kantenlängen des abgebildeten Körpers. a) S = (3 1 3 1 4) A = (2 1 0 1 – 2) B = (2 1 3 1 – 2) C = (0 1 0 1 – 2) b) F = (– 2 1 2 1 3) G = (– 2 1 – 2 1 3) E = (– 2 1 – 2 1 0) D = (0 1 2 1 3) A = (0 1 2 1 0) B = (0 1 – 2 1 0) C = (– 2 1 2 1 0) Stelle dir den Vektor ⎯ ⇀ABvor und bestimme die Länge des Vektors ohne Berechnung. a) A = (3|0|0), B = (5|0|0) c) A = (1|2|0), B = (1|2|7) b) A = (0|− 2|0), B = (0|5|0) d) A = (0|0|0), B = (17, 21|0|0) Berechne den Einheitsvektor des gegebenen Vektors. a) ⇀a = ( − 2 3 4 ) b) ⇀ b = ( 1 1 1 ) c) ⇀c = ( 23 2 1 ) d) ⇀ d = ( − 1 2 1 ) e) ⇀e = ( − 5 − 4 − 3) Vorwissen 672 673 Merke Muster 674 2 4 –2 2 4 0 y z x 32 + 52 5 3 2 † † = 32 + 52 + 22 a a 675 Ó Technologie Anleitung Betrag eines Vektors mit GeoGebra 5m78ug 676 677 Ó Arbeitsblatt Einheitsvektor berechnen 8579pf Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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