169 Vektoren > Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum Addition und Subtraktion Analog zur zweidimensionalen Vektorrechnung kann die Addition dreidimensionaler Vektoren geometrisch im Raum als Punkt-Pfeil- oder als Pfeil-Pfeil-Addition interpretiert werden. Punkt-Pfeil-Addition Pfeil-Pfeil-Addition 2 4 6 –2 2 4 6 8 2 4 0 y z x P = (3 1 4 1 6) C = (1 1 1 1 1) = (2 1 3 1 5) b 4 8 12 –4 –4 4 8 12 4 8 –4 0 y z x = (2 1 3 1 5) b = (3 1 – 2 1 4) a = (5 1 1 1 9) c Bei der Punkt-Pfeil-Addition wird das Ergebnis als Punkt interpretiert. C + ⇀ b = ( 1 1 1 ) + ( 2 3 5 ) = ( 3 4 6 ) = P = (3|4|6) Bei der Pfeil-Pfeil-Addition wird das Ergebnis als Pfeil interpretiert. ⇀a + ⇀ b = ( 3 − 2 4 ) + ( 2 3 5 ) = ( 5 1 9 ) = ⇀c Analog zur zweidimensionalen Vektorrechnung kann die Subtraktion dreidimensionaler Vektoren geometrisch im Raum als Addition des Gegenvektors interpretiert werden. Addition und Subtraktion zweier Vektoren im ℝ 3: ⇀a + ⇀ b = ( x a y a z a ) + ( x b y b z b ) = ⎛ ⎜ ⎝ x a + x b y a + y b z a + z b ⎞ ⎟ ⎠ ⇀a − ⇀ b = ( x a y a z a ) − ( x b y b z b ) = ( x a − x b y a − y b z a − z b) Gegeben sind die Vektoren ⇀a = ( − 3 2 5 ), ⇀ b = ( 12 − 12 0 ), ⇀c = ( 8 3 − 5 ), ⇀ d = ( − 1 0 5 ) und ⇀e = ( 12 − 9 − 3 ). Führe die angegebenen Berechnungen aus. a) ⇀a + ⇀ b + ⇀c b) ⇀a + ⇀ d + ⇀c c) ⇀a + ⇀a + ⇀a + ⇀e d) ⇀e − ⇀ b − ⇀c e) ⇀e − ⇀ d − ⇀a Gegeben sind die Vektoren ⇀a = ( − 3 2 5 ), ⇀ b = ( 12 − 11 0 ), ⇀c = ( 8 3 − 5 ), ⇀ d = ( − 1 0 5 ) und ⇀e = ( 12 − 9 − 3 ). Führe die angegebenen Berechnungen aus. a) ⇀a − ⇀ b + ⇀c b) ⇀a + ⇀ d − ⇀c c) ⇀a − ⇀a − ⇀e d) − ⇀a + ⇀ d − ⇀c + ⇀e Stelle die angegebenen Punkte und Vektoren des abgebildeten Quaders durch Addition der gegebenen Größen A, ⇀a, ⇀ b u n d ⇀c dar. a) B c) C e) G g) H b) ⇀AC d) ⎯ ⇀BG f) ⎯ ⇀AG h) ⎯ ⇀DG MerkeÓ Technologie Anleitung Addition und Subtraktion eines Vektors mit GeoGebra 3g7662 678 Ó Technologie Darstellung Vektoraddition und -subtraktion vr9e53 679 680 E A B C D F H G b c a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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