170 Vektoren > Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum 10 Stelle die angegebenen Punkte und Vektoren des abgebildeten Quaders mit Hilfe der gegebenen Größen A, B, ⇀a und ⇀ b dar. a) ⎯ ⇀AB c) F e) ⇀AC g) ⎯ ⇀BH b) E d) C f) H h) G Ein Parallelepiped wird von sechs Parallelogrammen begrenzt, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Kreuze die beiden auf das abgebildete Parallelepiped zutreffenden Aussagen an. A ⎯ ⇀AB + ⇀BF = F B F − ⎯ ⇀DC = E C | ⇀AE | = | ⇀FB | D C + ⇀EB = H E H − A = ⎯ ⇀HA Multiplikation mit einem Skalar Analog zur Vektorrechnung in zwei Dimensionen kann auch im dreidimensionalen Raum die Multiplikation mit einem Skalar (mit einer reellen Zahl) durchgeführt und geometrisch interpretiert werden. Multipliziere den Vektor ⇀amit dem Skalar t und interpretiere das Ergebnis graphisch. ⇀a = ( 3 0 4 ), t = − 3 t · ⇀a = − 3 · ( 3 0 4 ) = ( − 9 0 − 12 ) Interpretation: Das Ergebnis ( − 9 0 − 12 ) ist ein paralleler Vektor zu ⇀a, der dreimal so lang und entgegengesetzt orientiert zu ⇀a ist. Multiplikation eines Vektors ⇀amit einem Skalar t ⇀a = ( x a y a y a ) und t ∈ ℝ : t · ⇀a= t·( x a y a y a ) = ⎛ ⎜ ⎝ t · x a t·y a t · y a ⎞ ⎟ ⎠ Parallelitätskriterium Sind zwei Vektoren ⇀a u n d ⇀ b ( ⇀ aungleich Nullvektor, ⇀ bungleich Nullvektor) zueinander parallel, so gilt: ⇀a= t· ⇀ b u n d ⇀ b= r·⇀amit r, t ∈ ℝ. Überprüfe, welche der gegebenen Vektoren zueinander parallel sind. a) ⇀a = ( − 3 9 6 ), ⇀ b = ( 3 − 9 6 ), →c = ( 1 − 3 − 2 ), ⇀ d = ( − 6 18 − 12 ) c) ⇀a = ( 1 1 0 ), ⇀ b = ( − 2 − 2 0 ), ⇀c = ( 0 1 1 ), ⇀ d = ( 0 − 100 − 100 ) b) ⇀a = ( 48 − 48 24 ), ⇀ b = ( 2 2 1 ), ⇀c = ( − 1 1 − 0, 5 ), ⇀ d = ( 12 − 12 6 ) d) ⇀a = ( − 10 20 50 ), ⇀ b = ( − 2 4 10 ), ⇀c = ( 2 − 4 − 10 ), ⇀ d = ( 1 − 2 5 ) E A B C D F H G b a 681 AG-R 3.3 M1 682 Muster 683 a = 2 3 0 3 4 a – 3 Merke 684 Ó Technologie Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar g294zv E A B C D F H G Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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