171 Vektoren > Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum Ordne x und y jeweils so zu, dass die Vektoren ⇀a und ⇀ bzueinander parallel sind. 1 ⇀a = ( − 3 x 2 ), ⇀ b = ( 6 − 4 y ) A x = 2, y = − 4 B x = 3, y = 6 2 ⇀a = ( x 1 y ), ⇀ b = ( 2, 5 − 2, 5 − 2, 5 ) C x = 1, y = − 1 D x = − 1, y = 1 3 ⇀a = ( − 3 9 6 ), ⇀ b = ( y − 9 x ) E x = − 6, y = 3 F x = − 1, y = 1 4 ⇀a = ( − 3 9 y ), ⇀ b = ( x − 9 − 6 ) Bestimme den Vektor ⇀ l, der parallel zu ⇀aund gleich orientiert ist und die Länge l hat. a) ⇀a = ( 1 2 2 );l = 9 b) ⇀a = ( − 3 0 − 4 ); l = 50 c) ⇀a = ( 2 1 1 ); l = 3 · 9 _ 6 d) ⇀a = ( 0 0 1 ); l = 1,2 Kreuze die beiden Aussagen an, die auf die Vektoren in der Abbildung zutreffen. A ⇀ d· r (r ∈ ℝ\0)und ⇀ bhaben immer verschiedene Orientierungen. B ⇀ d = r · ⇀ b, r ∈ ℝ C ⇀c u n d ⇀ bhaben die gleiche Richtung. D ⇀ d u n d ⇀ bhaben verschiedene Orientierungen. E ⇀a + ⇀c = ⇀ b Winkelberechnung Zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren kann wie bei zweidimensionalen Vektoren die Vektor-Winkel-Formel verwendet werden. Berechne den Winkel, den die beiden Vektoren ⇀a und ⇀ b e i n s c h l i e ß e n . ⇀a = ( 2 2 − 2 ), ⇀ b = ( − 2 2 − 2 ) c os(α) = ⇀a · ⇀ b _ | ⇀a | · | ⇀ b | = ( 2 2 − 2 ) · ( − 2 2 − 2 ) _ 9 _ 12 · 9 _ 12 = 4 _ 12 = 1 _ 3 ⇒ α ≈ 70, 53° Vektor-Winkel-Formel Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren ⇀a und ⇀ b ∈ ℝ 3 gilt: cos(α) = ⇀a · ⇀ b _ | ⇀a | · | ⇀ b | ⇀a, ⇀ b ≠ ⇀0 Bestimme den von ⇀c u n d ⇀ deingeschlossenen Winkel. a) ⇀c = ( 1 2 − 2 ), ⇀ d = ( − 2 1 − 2 ) b) ⇀c = ( 3 5 − 2 ), ⇀ d = ( − 2 0 − 3 ) c) ⇀c = ( 1 0 0 ), ⇀ d = ( − 2 0 0 )d) ⇀c = ( 45 23 − 2 ), ⇀ d = ( − 43 90 21 ) AG-R 3.3 M1 685 686 x y 2 4 6 8 –4 –2 2 4 –4 –2 0 a c b d AG-R 3.3 M1 687 Ó Arbeitsblatt Multiplikation mit einem Skalar hd4s6x Muster 688 Merke 4 –4 –4 –12 4 8 6 0 x z y α = 70,53° = (–2 1 2 1 –2) v = (2 1 2 1 –2) u 689 Ó Technologie Anleitung Winkelberechnung mit GeoGebra wc368j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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