177 Vektoren > Das Vektorprodukt Berechne das Volumen des dreiseitigen Prismas mit den Seitenvektoren ⇀a, ⇀ b, ⇀c. a) ⇀a = ( 0 3 2 ), ⇀ b = ( − 1 2 2 ), ⇀c = ( 3 − 1 1 ) b) ⇀a = ( 2 1 − 4 ), ⇀ b = ( 3 − 1 1 ), ⇀c = ( 1 1 0 ) c) ⇀a = ( 2 0 0 ), ⇀ b = ( 0 1 0 ), ⇀c = ( 0 0 1 ) Volumen einer dreiseitigen Pyramide Da jede dreiseitige Pyramide ein Drittel eines dreiseitigen Prismas ist, gilt V = 1 _ 6 · |( ⇀a × ⇀ b ) · ⇀c |. Berechne das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C und D. a) A = (− 3|5|1), B = (− 3|5|− 1), C = (− 3|1|0), D = (0|2|− 3) b) A = (0|0|0), B = (5|0|0), C = (0|5|0), D = (0|0|5) c) A = (− 1|− 2|1), B = (− 2|3|1), C = (1|− 1|2)D = (0|4|0) Gegeben sind die Eckpunkte einer Doppelpyramide. Sie besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Berechne die Koordinaten der Punkte D und F. Berechne die Kantenlänge und das Volumen der Doppelpyramide. a) A = (8|1|6), B = (11|9|1), C = (2|13|2), E = (3|4|− 2) b) A = (7|0|5), B = (10|8|0), C = (1|12|1), E = (6|9|9) Zusammenfassung „Spitze minus Schaft“-Regel Betrag (Länge) eines Vektors ⇀a Vektor zwischen zwei Punkten A und B: ⎯ ⇀AB = ⇀B − ⇀A = ( x b y b z b ) − ( x a y a z a ) | ⇀a | = |( x a y a z a )| = 9 _x a 2 + y a 2 + z a 2 Vektor-Winkel-Formel Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren ⇀a und ⇀ b ∈ ℝ 3 gilt: cos(α) = ⇀a · ⇀ b _ | ⇀a | · | ⇀ b | ⇀a, ⇀ b ≠ ⇀0 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Vektoren ⇀a u n d ⇀ b ⇀a × ⇀ b = ( x a y a z a ) × ( x b y b z b ) = ⎛ ⎜ ⎝ y a z b − z a y b − (x a z b − z a x b) x a y b − y a x b ⎞ ⎟ ⎠ Eigenschaften des Vektorproduktes Das Vektorprodukt ⇀a × ⇀ bist ein Vektor, der auf die beiden Ausgangsvektoren ⇀a und ⇀ b normal steht. Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird: A = | ⇀a × ⇀ b |. Die Vektoren ⇀a und ⇀ b und ⇀a × ⇀ b b i ld e n e i n Rechtssystem. Volumen eines Parallelepipeds V = |( ⇀a × ⇀ b ) · ⇀c | 712 Merke 713 714 2 2 4 2 8 0 y z x a a b b× b c a A B C D E F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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