183 11.1 Parameterdarstellung der Geraden Lernziele: º Geraden im Raum mit Hilfe der Parameterdarstellung beschreiben können º Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade bestimmen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 3.4 G eraden durch (Parameter-)Gleichungen in […] ℝ3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können In Lösungswege 5 wurde eine Gerade im ℝ 2 durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt und mit Hilfe der Parameterform dargestellt. Auch im Raum (im ℝ 3) ist eine Gerade durch einen Punkt P und einen Richtungsvektor ⇀a eindeutig bestimmt. Jeder Punkt der Geraden g kann berechnet werden, indem man zum Punkt P ein Vielfaches des Richtungsvektors ⇀a addiert. Z. B: A 1 = P+1· ⇀a; A 2 = P + 2 · ⇀a; A 3 = P + 3 · ⇀a; A 4 = P + (− 1) · ⇀a; Durch diese Methode werden ausschließlich Punkte auf der Geraden g beschrieben. Das führt wie schon im ℝ 2 zu der Parameterdarstellung einer Geraden: Parameterdarstellung einer Geraden im ℝ 3 Jeder Punkt X auf einer Geraden g im Raum kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: g:X = P+t·⇀a t ∈ ℝ P ist ein Punkt auf der Geraden g, ⇀aist ein Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. Gib eine Parameterform der Geraden g an, die durch die Punkte A = (− 1|0|2)und B = (− 3|2|0) verläuft und überprüfe, ob der Punkt C = (1|−2|4)auf g liegt. Mit dem Richtungsvektor ⎯ ⇀ABund dem Punkt A wird die Parameterform von g aufgestellt. ⎯ ⇀AB = ( − 2 2 − 2 ) ∥ ( − 1 1 − 1 ) g:X = ( − 1 0 2 ) + t · ( − 1 1 − 1 ) Wenn C auf g liegt, muss es einen Parameter t geben, mit dem man C aus der Gleichung für g berechnen kann: ( 1 − 2 4 ) = ( − 1 0 2 ) + t · ( − 1 1 − 1 ) ⇒ 1 = − 1 − t − 2 = t 4 = 2 − t } ⇒ t = − 2 t = − 2 t = − 2} ⇒ C ∈ g. Gib eine Parameterform der Geraden g an, die durch die Punkte A und B verläuft und überprüfe, ob der Punkt C auf g liegt. a) A = (2|−1|5), B = (3|0|6), C = (8|5|11) c) A = (− 3|4|2), B = (− 4|3|3), C = (− 5|2|5) b) A = (10|9|8), B = (− 10|9|−8), C = (0|0|0) d) A = (− 3|2|5), B = (− 2|4|1), C = (− 1|6|−3) Kompetenzen 2 4 –2 4 8 12 4 0 y z x a a a g A1 A2 A3 A4 P –a MerkeÓ Technologie Darstellung Parameterdarstellung einer Geraden im Raum hy3n72 Muster 732 733 Ó Technologie Anleitung Parameterdarstellung einer Geraden kb293j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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