186 11.2 Lagebeziehungen von Geraden im Raum Lernziele: º Lagebeziehungen (und Schnittpunkte) von Geraden ermitteln können º Winkel zwischen Geraden bestimmen können º Geometrische Aufgaben mit Hilfe der Vektorrechnung lösen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 3.4 G eraden durch (Parameter-)Gleichungen in […] ℝ3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können In der Ebene (ℝ 2) können zwei Geraden schneidend, parallel oder identisch sein. Bestimme die Lagebeziehung der Geraden g und h. a) g:X = (− 1 2 ) + s · (− 3 4 ) h : X = ( 8 − 10 ) + t · (− 1 1 ) c) g:X = (− 4 3 ) + s · (− 3 4 ) h : X = (− 1 − 1) + t · (− 3 4 ) b) g:X = (− 1 3 ) + s · (− 3 4 ) h : X = (− 3 5 ) + t · ( 6 − 8 ) d) g:X = ( 0 2) + s · (− 1 4 ) h : X = (− 5 22) + t · ( 3 1) Wie in der Ebene können Geraden im Raum zueinander parallel, schneidend oder identisch liegen. Im ℝ 3 gib es allerdings eine weitere Lagebeziehung: Zwei Geraden können zueinander windschief sein. In den vier Abbildungen sind alle möglichen Lagebeziehungen der beiden Geraden g :X = G + t · ⇀gundh:X = H+s·⇀hmit s, t ∈ ℝ im ℝ 3 angegeben. g und h sind parallel g und h sind ident g und h schneiden einander g und h sind windschief g ∥ h keine Punkte gemeinsam g = h unendlich viele Punkte gemeinsam g ∦ h einen Punkt gemeinsam g ∦ h keine Punkte gemeinsam H G h g h g G H h g h g h H g G S h g H h g G h g Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind parallel (d.h. sie sind ein Vielfaches voneinander): ⇀g = k · ⇀h; k ∈ ℝ Die beiden Richtungsvektoren sind nicht parallel (d.h. sie sind kein Vielfaches voneinander). Der Punkt G liegt nur auf g und nicht auf h: G ∈ gund G ∉ h oder ⎯ ⇀GH ∦ ⇀g Der Punkt G liegt auf beiden Geraden: G ∈ gund G ∈ h oder ⎯ ⇀GH ∥ ⇀g ∥ ⇀h g und h haben einen gemeinsamen Punkt: g ∩ h = {S} g und h haben keinen gemeinsamen Punkt: g ∩ h = {} Kompetenzen t 742 Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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