199 12.2 Parameterfreie Darstellung einer Ebene Lernziele: º Die parameterfreie Darstellung einer Ebenen kennen, aufstellen und interpretieren können (AG-L 3.9) º Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene bestimmen können º Darstellungsformen von Ebenen umwandeln können º Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene bestimmen können Es ist anschaulich einsichtig, dass eine Ebene e durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⇀nder Ebene festgelegt ist. Ist X ein Punkt der Ebene, so steht der Vektor ⇀PXnormal auf ⇀n. Daraus folgt, dass das Skalarprodukt der Vektoren ⇀PX und ⇀ngleich null ist. Formuliert man diese Einsichten mit Hilfe der Sprache der Mathematik, so führt das zu einer neuen Gleichungsform für die Ebene e: ⇀n ⊥ ⇀PX ⇔ ⇀n · ⇀PX = 0 ⇔ ⇀n · (X − P) = 0 ⇔ ⇀n·X = ⇀n· P(Normalvektorform der Ebene e) Durch Ausmultiplizieren der beiden Skalarprodukte erhält man die parameterfreie Form der Ebene e. Normalvektordarstellung einer Ebene e e : ⇀n·X = ⇀n · P X, P ∈ e, ⇀n ⊥ e Führt man die Skalarmultiplikation aus, so erhält man die parameterfreie Darstellung der Ebene e : ax + by + cz = d Der Vektor ( a b c ) ist ein Normalvektor der Ebene. Berechne eine parameterfreie Darstellung der Ebene e. e : ⇀X = ( 2 − 3 − 1 ) + t · ( − 1 3 1 ) + s· ( 1 0 2 ) Zur Berechnung einer parameterfreien Form von e benötigt man einen Punkt und einen Normalvektor der Ebene: P = (2|−3|−1) ⇀n = ( − 1 3 1 ) × ( 1 0 2 ) = ( 6 3 − 3 ) ∥ ( 2 1 − 1 ) Nun bildet man mit ⇀nund P die Normalvektorform der Ebene und berechnet die parameterfreie Form durch Ausmultiplizieren der Skalarprodukte. ( 2 1 − 1 ) · ( x y z ) = ( 2 1 − 1 ) · ( 2 − 3 − 1 ) (Normalvektorform der Ebene e), ⇒ 2x + y − z = 2 (parameterfreie Form von e) Bestimme eine Normalvektorform und eine parameterfreie Darstellung der durch die drei Punkte festgelegten Ebene e. a) A = (1|2|0), B = (2|−1|1), C = (0|−1|−1) c) A = (0|0|0), B = (2|−5|1), C = (− 1|−2|3) b) A = (2|−1|5), B = (− 2|−3|1), C = (1|2|3) d) A = (2|−1|−3), B = (− 6|5|−4), C = (1|4|0) Kompetenzen e P X1 PX1 X2 PX2 90° _ À n Merke Muster 790 791 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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