25 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Logarithmus Begründe für a ∈ ℝ +\{1}. a) log a 0kann nicht bestimmt werden. b) log a 1 = 0 c) log 10 a < 0für0 < a < 1 Neben der Kreiszahl π = 3,141592653 ...gibt es in der Mathematik noch eine weitere wichtige Konstante, die nach dem Mathematiker Leonard Euler (1707–1783) benannt ist. Euler’sche Zahl e = 2,718281828 . ..: Die Zahl e ist wie π eine irrationale Zahl, d.h. sie lässt sich nicht als Bruch darstellen, und man kann damit natürliche Wachstums- und Abnahmeprozesse beschreiben. So lassen sich zum Beispiel die Vermehrung eines bestimmten Bakterienstamms, die Geschwindigkeit, mit der die Biomasse von Bäumen zunimmt bzw. der Zerfall eines radioaktiven Elements mit der Euler’schen Zahl sehr gut modellieren. Die Zahl e kann auch als Basis bei Exponentialgleichungen auftreten. Im Kapitel 6 wird darauf näher eingegangen. Die Lösung x = loge bder Exponentialgleichung e x = b (b ∈ ℝ +)wird dann als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Man schreibt: loge b = lnb(„logarithmus naturalis b“). Die Lösung x = log10 bder Exponentialgleichung 10 x = b (b ∈ ℝ +)heißt Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus). Man schreibt: log10 b = logb = lgb(„logarithmus generalis b“) Natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus Für b ∈ ℝ + gilt: e x = b ⇔ x = lnb (natürlicher Logarithmus) 10 x = b ⇔ x = lgb (Zehnerlogarithmus) Der natürliche Logarithmus und der Zehnerlogarithmus können mit dem Taschenrechner oder einem anderen elektronischen Hilfsmittel berechnet werden. Berechnung des Logarithmus von b zur Basis a G log10(b) log10(5) 0,69897... ln(b) ln(5) 1,609437... log(a, b) log(4,10) 1,6609... � log10(b) log(10,5) 0,69897... ln(b) ln(5) 1,60943... logab log4(10) 1,6609... T ln(b) ln(6) 1,7917... loga(b) log4(10) 1,6609... Zeige mithilfe von Technologie die Richtigkeit der Gleichung. a) log 3 50 = ln(50) _ ln(3) b) log 4 17 = ln(17) _ ln(4) c) log 2 4,5 = lg(4, 5) _ lg(2) d) log 7,8 0,5 = lg(0, 5) _ lg(7, 8) 113 Ó Technologie Darstellung Stetige Verzinsung, Herleitung von e bf3h4s Merke Merke Ó Technologie Anleitung Logarithmus 9pi6pm Technologie 114 Leonard Euler Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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