26 Logarithmus und Exponentialgleichungen > Logarithmus 2 Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung. a) 10 x = 3 b) e x = 5 a) Man gibt die Lösung in logarithmischer Schreibweise an und berechnet den Wert mit Technologie: x = log10 3 = lg3 ≈ 0, 4771 b) Für die Lösung der Gleichung gilt: x = loge 5 = ln5 ≈ 1, 6094 Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung mit Technologie. a) 10 x = 0, 5 b) 10 x = 1 _ 20 c) 10 x = 2, 5 d) e x = 0,45 e) e x = 1, 8 f) e x = 2 _ 3 Rechenregeln für Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen kann man durch Anwendung der Potenzregeln die folgenden Zusammenhänge erkennen. Rechenregeln für Logarithmen (a , b, c ∈ ℝ +, r ∈ ℝ) log a(b · c) = loga b + loga c loga( b _ c ) = loga b − log a c log a(b r) = r·log a b Da Logarithmen Exponenten darstellen, können die Regeln für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Logarithmen von den Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Dazu verwendet man den Zusammenhang alog ab = bbzw. alog ac = c. Im Ausdruck loga(b · c) werden die Faktoren durch die entsprechenden Potenzen ersetzt: log a(b · c) = loga(a log ab · a log ac) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert: log a(b · c) = loga(a log ab · a log ac) = log a a log ab+log ac = log a b + loga c (da log a a x = x) Zeige die Gültigkeit der Rechenregel für Logarithmen. (a , b, c ∈ ℝ +, r ∈ ℝ) a) log a( b _ c ) = loga b − log a c b) log a(b r) = r·log a b Der Einfachheit halber wird in den folgenden Beispielen die Basis bei den Logarithmen weggelassen. Schreibe als Summe bzw. Differenz von Logarithmen an. Verwende die Rechenregeln für Logarithmen. a) log( 4 x 3 _ y z 5 ) b) log 3 9 _ x y 2 a) log( 4 x 3 _ y z 5 ) = log(4 x 3) − log(y z 5) = log4 + logx3 − (logy + log z5) = log4 + 3 logx − log y − 5 log z b) log 3 9 _ x y 2 = log(x y 2) 1 _ 3 = 1 _ 3 log(x y 2) = 1 _ 3 (logx + log y 2) = 1 _ 3 (logx + 2 logy) Tipp: Die Logarithmen der Faktoren im Zähler haben positive, die Logarithmen der Faktoren im Nenner immer negative Vorzeichen. Schreibe als Summe bzw. Differenz von Logarithmen an. a) log(ab) b) log( a _ b ) c) log(2 b 3) d) log(a 3 b 4) e) log( a 4 _ b 2 ) f) log( 3a b 7 _ c 4 ) g) log( a + b _ c − d ) Muster 115 116 Merke 117 Muster 118 119 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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