48 Untersuchen reeller Funktionen > Monotonie und Extremstellen von Funktionen 4 Extremstellen von Funktionen Oft werden höchste oder tiefste Punkte von Funktionsgraphen gesucht. In nebenstehender Abbildung sieht man den Graphen der Funktion h. Diese beschreibt die Höhe eines Springers beim Bungeejumping in den ersten acht Sekunden zum Zeitpunkt t (h in Meter, t in Sekunden). Man erkennt, dass nach vier Sekunden der tiefste Punkt erreicht wird (da der Funktionsgraph hier den kleinsten Funktionswert annimmt, nennt man diese Stelle globale Minimumstelle). Dann wird der Springer durch das Seil wieder in die Höhe geschleudert und fällt nach sieben Sekunden wieder. Da es um t = 7 sein offenes Intervall (Umgebung) gibt, in dem der Funktionswert der größte Wert ist, nennt man diese Stelle lokale Maximumstelle. In diesem Buch muss das offene Intervall (die Umgebung) komplett in der Definitionsmenge der Funktion liegen. Stellen, die am Rand des Definitionsbereichs liegen, sind in diesem Buch daher keine lokalen Extremstellen. Extremstellen Als globale Maximumstelle einer Funktion f bezeichnet man jene Stelle p, für die gilt: f(p) ≥ f(x) für alle x aus der Definitionsmenge von f Als globale Minimumstelle einer Funktion f bezeichnet man jene Stelle p, für die gilt: f(p) ≤ f(x) für alle x aus der Definitionsmenge von f Als lokale Maximumstelle einer Funktion f bezeichnet man jene Stelle p, für die gilt: f(p) ≥ f(x) für alle x aus einer Umgebung von p Als lokale Minimumstelle einer Funktion f bezeichnet man jene Stelle p, für die gilt: f(p) ≤ f(x) für alle x aus einer Umgebung von p Maximum- und Minimumstellen werden als Extremstellen bezeichnet. Die zu den Extremstellen gehörigen Punkte werden Extrempunkte genannt. Findet an einer Stelle p ein Monotoniewechsel statt, so befindet sich dort eine lokale Extremstelle. Gib alle globalen und lokalen Extremstellen der Funktion f mit f(x) = 1 _ 30( x 4 _ 4 + 4 x 3 _ 3 − 11 x 2 _ 2 − 30x) 1) im Intervall [− 1; 4] 2) in ℝ an. Um die Extremstellen zu erkennen, wird der Graph der Funktion f gezeichnet (vergleiche Abbildung). 1) Da in diesem Intervall der größte Funktionswert bei − 1 und der kleinste bei 3 angenommen wird, gilt: globales Maximum: − 1 globales Minimum: 3 lokales Minimum: 3 2) Da die Funktion weiter steigt, existiert kein globales Maximum. globales Minimum: 3 lokales Minimum: − 5und 3 lokales Maximum: − 2 t h(t) 2 4 6 7 8 10 10 20 30 40 50 0 h Merke globale Maximumstelle ®oka®e Maximumstelle ®oka®e Minimumstelle globale Minimumstelle x –2–1 123456 –2 –6–5–4–3 –3 1 2 3 4 0 f f(x) Muster 216 x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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