8 Potenzen > Potenzen mit natürlichen Exponenten 1 Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten Für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen mit gleichen Basen können Rechenregeln aufgestellt werden. Für die Multiplikation gilt: a4 · a 3 = a·a·a·a·a·a·a = a7 (4 + 3Faktoren) Für die Division gilt: a5 : a 2 = a 5 _ a 2 = a·a·a·a·a _ a · a = a 3 Nach dem Kürzen bleiben 5 − 2 = 3Faktoren übrig. Das Potenzieren von Potenzen ist ein wiederholtes Multiplizieren derselben Potenz. Es gilt: (a 3) 2 = a 3 · a 3 = a 3 + 3 = a 3·2 = a 6 Werden Produkte bzw. Quotienten mit unterschiedlichen Faktoren bzw. Zählern und Nennern potenziert, können dafür ebenfalls Rechenregeln hergeleitet werden. Für (a · b) 4 gilt: (a · b) 4 = (a · b) · (a · b) · (a · b) · (a · b) = (a · a · a · a) · (b · b · b · b) = a 4 · b 4 Analoge Überlegungen gelten für ( a _ b) 3 : ( a _ b) 3 = ( a _ b) · ( a _ b) · ( a _ b) = a · a · a _ b · b · b = a 3 _ b 3 Aufgrund dieser Überlegungen kann man folgende Rechenregeln vermuten: Potenzen mit gleicher Basis und gleichen Exponenten Für alle a , b ∈ ℝ und m, n ∈ ℕ\{0} gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (mit a ≠ 0und m > n) (3) (a m) n = a m·n (4) (a · b) n = a n · b n (5) (a : b) n = ( a _ b) n = a n _ b n (mit b ≠ 0) Formuliere die Rechengesetze (1), (2) und (3) in Worten. Berechne und gib die verwendete Rechenregel an. a) x 3 · x 5 b) y · y 2 · y 3 c) z 6 _ z 4 d) w 10 : w 5 e) (c 4) 6 f) (d 5) 4 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E y 7 : y 6 = y x 4 · x 4 = x 16 z 3 · z 3 = 2z3 a 4 · a 3 = a 2 · a 5 a · a 4 : a 3 = a Begründe allgemein die Rechenregeln a) (1), (2) und (3) b) (4) und (5). Vereinfache die Terme. a) (− c) 5 : c 3 c) (2y) 3 : (− 2y) e) r 5y : r 4y g) t 2y : t y b) (− x) 5 : (− x) 2 d) z 5 : (− z) 4 f) s 3a : s a h) u 10a : u 8a Berechne unter Verwendung der Regeln (4) und (5). a) (0, 5 x 2 y 4) 6 b) ( y 4 _ 2 ) 6 c) (x 2 : y 4) 5 d) (− 3a) 4 e) (− 2a b 3) 5 f) (− x 2 _ y 5 ) 3 Merke 8 t 9 AG-R 2.1 M1 10 ó 11 t 12 t 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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