47 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gilt s‘‘(t) = − 4. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gilt s‘‘(t) = 0. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Interpretiere den Ausdruck lim b→a s‘(b) − s‘(a) ______ b − a im gegebenen Kontext. Zusammenfassung Änderungsmaße Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt º f(b) − f(a) die absolute Änderung von f in [a; b], º f(b) − f(a) _ f(a) relative Änderung von f in [a; b], º f(b) _ f(a) Änderungsfaktor von f in [a; b], º f(b) − f(a) _ b − a mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) von f in [a; b], º df _ dx = f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x momentane oder lokale Änderungsrate (Differentialquotient, 1. Ableitung) von f an der Stelle x. Differenzenquotient/Differentialquotient einer Funktion f Den Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [a; b] kann man als Steigung k der Sekante von f in [a; b] interpretieren. Der Differentialquotient von f an der Stelle x, ist die Steigung der Tangente im Punkt P (x|f(x)). Die Steigung dieser Tangente wird auch als die Steigung von f an der Stelle x bezeichnet. Ableitungsfunktion einer Funktion f Eine Funktion f‘: D → ℝ nennt man Ableitungsfunktion von f (oder kurz „Ableitung von f“). Der Funktionswert von f‘an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Stelle x. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder differenzieren. Leitet man eine Funktion mehrmals ab, dann nennt man f‘‘die zweite Ableitung von f, f‘‘‘die dritte Ableitung von f usw. Ableitungsregeln Potenzregel (Ableitung von Potenzfunktionen) f(x) = x n (n ∈ ℕ\{0}) → f‘(x) = n·xn−1 Regel der multiplikativen Konstante (k · f(x))‘ = k · f‘(x) Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c, (c ∈ ℝ) → f‘(x) = 0 Summen- bzw. Differenzenregel (h(x) ± g(x))‘ = h‘(x) ± g‘(x) AN-R 1.3 M1 157 AN-R 1.3 M1 158 AN-R 1.3 M1 159 Ó Arbeitsblatt s – v – a f4j74r x y 2 4 6 b 8 10 –2 2 a 4 6 –4 –2 0 f Sekante von f in [a; b] P(x|f(x)) Tangente von f an der Stelle x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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