Mathematik Oberstufe Lösungswege 7 Freiler | Marsik | Olf | Wittberger Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-11495-2
Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: olalalala / stock.adobe.com Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Bildnachweis S. 24.1: admin / Getty Images - iStockphoto; S. 24. 2 Pavel Potapov / Thinkstock S. 24.3: OPEN / Science Photo Library / picturedesk.com; S. 25.1: Jeffrey Hamilton / Thinkstock; S. 26.1: Isaac74 / Thinkstock; S. 28.1: dima_sidelnikov / Thinkstock; S. 29.1: bristenaaa / Thinkstock; S. 33.1: ollo / Thinkstock; S. 43.1: ziche77 / Thinkstock; S. 45.1: GeorgiosArt / iStockphoto.com; S. 48.1: NicoElNino / Thinkstock; S. 50.1: Ryan McVay / Thinkstock; S. 52.1: Wavebreakmedia Ltd / Thinkstock; S. 222.1: admin / Getty Images - iStockphoto; S. 222.2: Monkey Business Images / Thinkstock; S. 223.1: Wavebreak Media / Thinkstock; S. 224.1: efks / Thinkstock; S. 226.1: BrianAJackson / Thinkstock; S. 232.1: MariuszSzczygiel / Thinkstock; S. 234.1: igorrita / Thinkstock; S. 237.1: weerapatkiatdumrong / Thinkstock; S. 238.1: amana images RF / Thinkstock; S. 239.1: CobraCZ / Thinkstock; S. 245.1: Monkey Business Images / Thinkstock; 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Helene Ranetbauer, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn Lösungswege SB 7 erscheint unter der ISBN 978-3-209-11495-2 (Lösungswege OS SB 7 + E-Book) W6529-136 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Philipp Freiler | Julia Marsik Markus Olf | Markus Wittberger Mathematik Oberstufe Lösungswege www.oebv.at 7 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. In der App-Medienliste findest du durchgerechnete Lösungen für alle mit markierten Aufgaben. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt So arbeitest du mit Lösungswege 4 Gleichungen höheren Grades Gleichungen höheren Grades 6 1.1 Lösen durch Herausheben und Substitution 7 1.2 Polynomdivision 11 1.3 Nullstellen von Polynomfunktionen 14 Tei®-1-Aufgaben 18 Tei®-2-Aufgaben 20 Se®bstkontro®®e 21 Einschub: Vorwissenschaftliches Arbeiten 22 Differentialrechnung Grundlagen der Differentialrechnung 24 2.1 Der Differenzenquotient 25 2.2 Der Differenzialquotient 33 2.3 Einfache Ableitungsregeln 39 Tei®-1-Aufgaben 48 Tei®-2-Aufgaben 50 Se®bstkontro®®e 52 Untersuchung von Polynomfunktionen 54 3.1 Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 55 3.2 Krümmung und Graph der zweiten Ableitung – Wendepunkte 65 3.3 Kurvendiskussion 76 3.4 Graphisches Differenzieren 78 3.5 Auffinden von Polynomfunktionen 83 3.6 Extremwertaufgaben 87 Tei®-1-Aufgaben 92 Tei®-2-Aufgaben 97 Se®bstkontro®®e 96 Nichtlineare analytische Geometrie Kreis und Kugel 98 4.1 Kreisgleichungen 99 4.2 Aufstellen von Kreisgleichungen 103 4.3 Lagebeziehung von Kreis und Gerade 105 4.4 Tangente an einen Kreis 108 4.5 Lagebeziehungen zweier Kreise 112 4.6 Die Kugelgleichung 114 Tei®-2-Aufgaben 117 Se®bstkontro®®e 118 Kegelschnitte 120 5.1 Die Ellipse 121 5.2 Die Hyperbel 127 5.3 Die Parabel 132 5.4 Lagebeziehungen zwischen Kegelschnitten und Geraden 135 5.5 Tangenten an Kegelschnitten 138 Tei®-2-Aufgaben 143 Se®bstkontro®®e 144 Parameterdarstellung von Kurven 146 6.1 Kurven in der Ebene 147 6.2 Kurven im Raum 153 Tei®-2-Aufgaben 154 Se®bstkontro®®e 155 Funktionen Erweiterung der Differentialrechnung 156 7.1 Weitere Ableitungsregeln 157 7.2 Ableitung weiterer Funktionen 162 7.3 Weitere Kurvendiskussionen 166 7.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 170 Tei®-1-Aufgaben 173 Tei®-2-Aufgaben 174 Se®bstkontro®®e 176 1 2 3 4 5 6 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Anwendung der Differentialrechnung 178 8.1 Anwendungen aus der Wirtschaft 179 8.2 Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin 186 8.3 Extremwertaufgaben 189 8.4 Innermathematische Anwendungen 190 Tei®-1-Aufgaben 193 Tei®-2-Aufgaben 194 Se®bstkontro®®e 195 Reflexion: Mathematik und Naturwissenschaften 196 Einschub: Mündliche Matura 198 Stochastik Diskrete Zufallsvariablen 200 9.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung 201 9.2 Verteilungsfunktion 206 9.3 Erwartungswert und Standardabweichung 209 Tei®-1-Aufgaben 216 Tei®-2-Aufgaben 217 Se®bstkontro®®e 219 Reflexion: Das Simpson Paradoxon 221 Binominalverteilung und weitere Verteilungen 222 10.1 Binominalkoeffizient – Kombinatorik 223 10.2 Binominalverteilung 229 10.3 Erwartungswert und Varianz einer binominalverteilten Zufallsvariablen 235 10.4 Hypergeometrische Verteilung 239 10.5 Geometrische Verteilung 241 Tei®-1-Aufgaben 243 Tei®-2-Aufgaben 245 Se®bstkontro®®e 246 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen 248 11.1 Die imaginäre Einheit 249 11.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung 254 11.3 Lösen von Gleichungen 257 11.4 Fundamentalsatz der Algebra 259 11.5 Polardarstellung von komplexen Zahlen 261 11.6 Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung 263 Tei®-1-Aufgaben 267 Tei®-2-Aufgaben 268 Se®bstkontro®®e 269 Anhang Beweise 270 Technologie-Hinweise 278 Lösungen 278 Mathematische Zeichen 284 Register 286 Bildnachweis 288 8 9 10 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Hier gibt es eine On®ine-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inha®ten. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / On®ine-Code Suchen So arbeitest Du mit Lösungswege Liebe Schü®erin, ®ieber Schü®er, auf dieser Doppe®seite wird gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege strukturiert und aufgebaut ist. 6 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens ? 7 Kompetenzen 1.3 Prozentrechnen Lernzie®e: º º º Grundkompetenz für die schrift®iche Reifeprüfung: Vorwissen Theorie Technologie Merkwissen 1 Musteraufgabe mit Lösungen Tipp: Tipp Vorwissen Technologie Merke Muster Die Motivationsseite ist die erste Seite des Kapite®s und so®® Interesse für das Kapite® schaffen. Jedes Kapite® g®iedert sich in mehrere Unterkapite®, die durchnummeriert sind. Die Lernzie®e und Grundkompetenzen geben dir eine Übersicht über die wesent®ichen Themen des Abschnittes. Im Vorwissen wird kompakt der für das Fo®gende grund®egende und bereits ge®ernte Stoff zusammengeste®®t. In der Theorie werden die mathematischen Begriffe eingeführt und erk®ärt. Wo es sich anbietet, werden Tipps zum Techno®ogieeinsatz gegeben. Im Merkwissen werden zentra®e Inha®te zusammengefasst. Hi®feste®®ungen erhä®tst du bei den Tipps. Die Musteraufgaben zeigen Lösungsverfahren für wesent®iche Frageste®®ungen auf. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Auszeichnung der Aufgaben Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Aufgabe zur Ref®exion über die Mathematik Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung Aufgaben, die ohne TR zu ®ösen sind Aufgaben, die im digitalen Zusatzmaterial durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 6 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 8 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 10 > Prozentrechnen Zusammenfassung Am Ende des ®etzten Unterkapite®s werden in der Zusammenfassung die wesent®ichen Inha®te aufgezeigt. 11 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-1-Aufgaben Tei®-1-Aufgaben 13 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-2-Aufgaben Tei®-2-Aufgaben 14 1 > Selbstkontrolle Se®bstkontro®®e Bei der Se®bstkontro®®e werden die Lernzie®e nochma®s benannt und entsprechende Aufgaben angeboten, deren Lösungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Im Bereich Tei®-1-Aufgaben befinden sich Aufgaben passend zum Tei®-1 der SRDP. Die Lösungen befinden sich am Ende des Buches. Passend zum Teil-2 der SRDP werden hier entsprechende Aufgaben abgestimmt auf das Kapite® angeboten. Die erste Aufgabe ist kontextreduziert. 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 2 Grundlagen der Differentialrechnung Mathe-HÜ-Gruppe Mir geht seit gestern folgende Frage nicht aus dem Kopf: Was zeigt mir ein Tachometer – zum Beispiel in einem Auto – eigentlich an? Ein Tachometer zeigt dir die Geschwindigkeit an, mit der das Auto gerade in diesem Augenblick unterwegs ist. 類 Das Auto hat also in keinem Moment eine Geschwindigkeit, also steht es eigentlich still! Was zeigt der Tachometer eigentlich an? Jetzt geht mir deine Frage auch nicht mehr aus dem Kopf. Ein Augenblick ist natürlich sehr kurz, er ist nur einen Moment, also so gesehen dauert er gar nicht. In einem Moment vergeht keine Zeit. Aber: Geschwindigkeiten werden doch nach folgender Formel bestimmt: Geschwindigkeit = zurückgelegter Weg __________ benötigte Zeit . Da also in dem Augenblick, in dem ich auf den Tacho sehe, keine Zeit vergeht, kann doch das Auto in diesem Moment auch keinen Weg zurücklegen. Eingesetzt in die Geschwindigkeitsformel ergibt das 0 _ 0. Dafür gibt es keine Lösung. Das Auto hat in einem Moment also gar keine Geschwindigkeit. Und wie lange dauert ein Augenblick? Wie viel Zeit vergeht in einem Augenblick? Dieses Prob®em der Momentangeschwindigkeit, oder a®®gemeiner das Prob®em der momentanen Veränderung, wurde nach über 2 000 Jahren durch Isaac Newton und Gottfried Wi®he®m Leibniz ge®öst. In diesem Kapite® kannst du die Lösungsansätze dieser zwei berühmten Mathematiker nachvo®®ziehen. Während die Gemeinschaft der Wissenschaft®er we®tweit die Lösung des Prob®ems anerkannte und feierte, gerieten die beiden Wissenschaft®er Newton und Leibniz in einen ganz unwissenschaft®ichen Streit (Prioritätenstreit), wer denn a®s erster die ®anggesuchte Lösung gefunden habe. In der Mathematik kann man eine sogenannte momentane Änderung berechnen! Wie das geht, erfährst du in diesem Kapitel. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
25 2.1 Der Differenzenquotient Lernziele: º Absolute und relative Änderungsmaße definieren, anwenden und interpretieren können º Den Differenzenquotienten definieren und anwenden können º Den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate in verschiedenen Kontexten interpretieren können º Den Differenzenquotienten geometrisch deuten können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.1 A bsolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können AN-R 1.3 D en Differenzen[…]quotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen[…]quotienten beschreiben können In Lösungswege 6 (Kapitel 4) wurden bereits die Begriffe absolute und relative Änderung erarbeitet. Änderungsmaße Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt f(b) − f(a) absolute Änderung von f in [a; b], f(b) − f(a) _ f(a) relative Änderung von f in [a; b], f(b) _ f(a) Änderungsfaktor von f in [a; b]. Berechne die 1) absolute Änderung 2) relative Änderung der Funktion f im Intervall [− 2; 3]. a) f(x) = − 7x + 2 b) f(x) = − 3 x 2 + 3 c) f(x) = − 12 d) f(x) = − x 3 + 12 Für die Fernsehserie „Crime“, die einmal pro Woche ausgestrahlt wird, werden die Einschaltquoten in einem Monat verglichen. 1. Woche 2. Woche 3. Woche 4. Woche 23 712 35 814 30 693 31 418 Interpretiere den Wert des Ausdrucks 31 418 − 35 814 _ 35 814 ≈ − 0,1227im vorliegenden Kontext. Im Jahr 2017 haben sich österreichweit 16180 verheiratete Paare scheiden lassen, im Jahr 2021 waren es 14 510 Paare. Berechne die absolute und relative Änderung der Anzahl der Scheidungen im gegebenen Zeitraum und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. Kompetenzen Vorwissen Merke 63 AN-R 1.1 M1 64 AN-R 1.1 M1 65 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
26 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient 2 Der Differenzenquotient – die mittlere Änderungsrate Neben der absoluten und der relativen Änderung wurde in Lösungswege 6 auch die mittlere Änderungsrate, auch Differenzenquotient genannt, erarbeitet. Dabei wird untersucht, wie sich ein Vorgang (bzw. eine Funktion) im Mittel verändert. In der folgenden Tabelle sieht man die Zuschauerzahlen aller Heimspiele des Wiener Fußballklubs SK Rapid Wien von der Saison 2018/2019 bis 2022/2023. Saison 2018/2019 2019/2020 2020/2021 2021/2022 2022/2023 Zuschauerzahl 260 240 211 200 17 500 225 820 289 300 Vergleicht man die Zuschauerzahlen der Saison 2018/2019 und der Saison 2022/2023, so hat man den Eindruck, dass die Anzahl der Zuschauer gestiegen ist. Es ist zu beachten, dass die Zuschauerzahlen dazwischen zurückgegangen sind. Z(t) steht für die Anzahl der Zuschauer in der Saison t. Um die mittlere Änderungsrate von der Saison 2018/2019 bis zur Saison 2022/2023 zu berechnen, dividiert man die Differenz der Zuschauerzahlen durch die vergangenen Jahre. Z(2022 / 2023) − Z(2018 / 2019) _______________ 4 = 289 300 − 260 240 _ 4 = 7265 Dieser Wert bedeutet, dass die Zuschauerzahl im Mittel um 7265 Personen pro Saison zugenommen hat. Diese durchschnittliche Veränderung muss nicht mit der tatsächlichen Veränderung pro Saison übereinstimmen, was bei obiger Tabelle deutlich zu sehen ist. Die Berechnung der mittleren Änderungsrate kann auch auf beliebige Funktionen verallgemeinert werden: Der Differenzenquotient – die mittlere Änderungsrate Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt f(b) − f(a) _ b − a der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion f in [− 4; − 1]. a) f(x) = − 3x + 2 c) f(x) = − 3 x 2 + 1 e) f(x) = x − 3 _ x − 4 g) f(x) = − 2 e 3x b) f(x) = 5x − 5 d) f(x) = 12x2 − 4 f) f(x) = x 2 − 3 _ x − 9 h) f(x) = − 2 e −3x An einem Sommertag werden auf der Insel Rab in Kroatien folgende Temperaturen T (in °C) gemessen. Uhrzeit 5 Uhr 9 Uhr 12 Uhr 16 Uhr 20 Uhr 23 Uhr Temperatur 22° 27° 28° 26° 24° 22° a) Berechne die absolute Änderung von T in den Intervallen [5; 9], [5; 16], [16; 23] und interpretiere die Werte im gegebenen Kontext. b) Berechne den Differenzenquotienten von T in den Intervallen [5; 9], [5; 16], [16; 23] und interpretiere die Werte im gegebenen Kontext. c) Gib ein Intervall an, in dem die absolute Änderung und die mittlere Änderungsrate von T den Wert 0 annehmen. Erkläre allgemein, wann die absolute Änderung und die mittlere Änderungsrate den Wert 0 annehmen. Merke 66 Ó Technologie Übung Differenzenquotient n6a265 67Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
27 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient Eine Firma notiert stichprobenartig die Anzahl der Zugriffe Z auf ihre Webseite. Da viel Geld in die Werbung investiert wurde, erwartet man, dass auch die Zugriffe steigen. Datum 5. März 13. April 24. Juni 12. August 15. Oktober Zugriffe 54 782 73 812 104 352 108 912 235 314 a) Berechne die absolute Änderung von Z in den Intervallen [5. März, 13. April], [13. April, 24. Juni], [24. Juni, 12. August], [12. August, 15. Oktober] und interpretiere die Ergebnisse. b) Berechne die mittlere Änderungsrate von Z pro Tag in den Intervallen [5. März, 13. April], [13. April, 24. Juni], [24. Juni, 12. August], [12. August, 15. Oktober] und interpretiere die Ergebnisse. In der Abbildung ist die Temperatur T in einem Reagenzglas während eines Experiments in den ersten acht Minuten dargestellt. Berechne den Differenzenquotienten von T im Intervall [0; 8] und interpretiere das Ergebnis. Die Funktion P beschreibt die Gesamtkosten P(x) eines Produkts (in €) in Abhängigkeit von der Anzahl der produzierten Stücke x. a) Bestimme die mittlere Änderungsrate von P in [0; 20] und interpretiere das Ergebnis. b) Bestimme die mittlere Änderungsrate von P in [20; 40] und interpretiere das Ergebnis. c) Bestimme die mittlere Änderungsrate von P in [0; 40] und interpretiere das Ergebnis. Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Für den Luftdruck p bei der Besteigung des Mount Everest (in Hektopascal hPa) in Abhängigkeit von der Meereshöhe h (in m) gilt p(h) = 1 013 · 0,999 874h. Berechne die mittlere Änderungsrate von p im Intervall [2 000; 2 500] und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. Der Umfang U (in m) eines Kreises ist abhängig von seinem Radius r (in m). Vergleiche die mittleren Änderungsraten von U in den Intervallen [0; 5], [10; 20], [3 000; 3 010], [5 000; 10 000]. Interpretiere die Ergebnisse. Das Volumen V eines Zylinders mit konstanter Höhe h wird durch V(r) = r 2 · π · hberechnet. Was versteht man unter dem Ausdruck V(6) − V(2) _ 6 − 2 ? Interpretiere diesen Ausdruck im gegebenen Kontext. 68 AN-R 1.3 M1 69 t(inmin) T(in °C) 2 4 6 8 10 12 –2 10 20 30 0 T 70 x P(x) 10 20 30 40 50 60 70 200 400 600 800 0 P AN-R 1.3 M1 71 72 AN-R 1.3 M1 73 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
28 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient 2 Der Flächeninhalt A (in m2) eines Kreises ist abhängig von seinem Radius r (in m). a) Berechne den Differenzenquotienten von A in den Intervallen [0; 2], [2; 4], [4; 6] und interpretiere die Ergebnisse. b) Stelle eine Formel für die Berechnung des Differenzenquotienten von A in [u; v]auf. c) Kann der Differenzenquotient im Intervall [u; v]mit v > uim gegebenen Kontext negativ sein? Begründe deine Entscheidung. d) Berechne den Differenzenquotienten von A in den Intervallen [3; 4], [3; 3,5], [3; 3,1] und [3; 3,000 001]. Was fällt dir auf? Das Volumen V (in m3) einer Kugel ist abhängig von ihrem Radius r (in m). a) Berechne den Differenzenquotienten von V in den Intervallen [0; 2], [2; 4], [4; 6] und interpretiere die Ergebnisse. b) Stelle eine Formel für die Berechnung des Differenzenquotienten von V in [u; v]auf. c) Berechne den Differenzenquotient von V in den Intervallen [3; 4], [3; 3,5], [3; 3,0001] und [3; 3,000 001]. Was fällt dir auf? Der Umfang U eines Quadrats ist abhängig von seiner Seitenlänge a. Zeige, dass der Differenzenquotient von U in jedem Intervall [c; d] mit c < dkonstant ist. Die Anzahl der Bakterien A in einer Probe zum Zeitpunkt t (in Stunden) kann durch A (t) modelliert werden. Berechne die 1) absolute Änderung 2) mittlere Änderungsrate 3) relative Änderung von A im Intervall [a; b] und interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. a) A(t) = 40·e0,346 574·t a=4b=8 c) A(t) = 2000 · e−0,135·t a=2b=4 b) A(t) = 10·e0,279 574·t a=2b=4 d) A(t) = 7350 · e−0,574·t a=1b=6 In einer Schule werden die Anzahlen der ausgezeichneten Erfolge in den letzten Jahren miteinander verglichen. E(t) steht für die Anzahl der ausgezeichneten Erfolge im Jahr t, wobei t = 0für das Jahr 2019 steht. Es gilt: E(4) − E(0) _ 4 = 10 und E(4) − E(0) _ E(0) ≈ 0,182 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Anzahl der ausgezeichneten Erfolge ist von 2019 bis 2023 jährlich um 10 gestiegen. B Im Jahr 2023 gab es um 40 ausgezeichnete Erfolge mehr als im Jahr 2019. C Die Anzahl der ausgezeichneten Erfolge ist von 2019 bis 2023 um ca. 182 Prozent gestiegen. D Die mittlere Änderungsrate der ausgezeichneten Erfolge von 2019 bis 2023 ist 10. E Es ist nicht möglich, dass es im Jahr 2021 weniger ausgezeichnete Erfolge gegeben hat als im Jahr 2019. Im Jahr 2020 sind in einer Stadt 32 285 Personen vor Gericht verurteilt wurden, im Jahr 2021 waren es 31 541 Personen, im Jahr 2022 waren es 30 227 Personen. Interpretiere die einzelnen Rechnungen im vorliegenden Kontext. a) 30 227 − 32 285 = − 2 058 b) 30 227 − 32 285 _ 32 285 ≈ − 0,064 c) 30 227 − 32 285 _ 2 = − 1 029 74 Ó Technologie Darstellung Berechnung des Differenzenquotienten w5329p 75 76 77 Ó Arbeitsblatt Relative Änderung bei Exponentialfunktionen yk25y6 AN-R 1.1 M1 78 Ó Arbeitsblatt Änderungsmaße zq52dx 79 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
29 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit Beim Bungee-Jumping gilt für den zurückgelegten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) s(t) = 5t2 (t in Sekunden, s in Meter). a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; 3] und [3; 7]. b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1; t 2]. a) Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [0; 3] wird mit _ v (0; 3) abgekürzt und durch zurückgelegter Weg (in Meter) _______________ vergangene Zeit (in Sekunden) = s(3) − s(0) _ 3 − 0 , also dem Differenzenquotienten, berechnet: _ v (0; 3) = 45 − 0 _ 3 − 0 = 15 m/s. b) _ v (t 1; t 2) = s(t 2) − s(t 1) _ t 2 − t 1 = 5 t 2 2 − 5 t 1 2 _ t 2 − t 1 = 5 · (t 2 − t 1) · (t 2 + t 1) ___________ t 2 − t 1 = 5 · (t 2 + t 1) m / s Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s in Abhängigkeit von t, dann wird der Differenzenquotient im Intervall [t 1; t 2] zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit verwendet: mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1; t 2] : _ v (t 1; t 2) = s(t 2) − s(t 1) _ t 2 − t 1 Wird ein Ball mit einer Abschussgeschwindigkeit von 45 m/s vom Boden lotrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe h (in m) nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h(t) = 45t − 5 t 2. a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Balls in den Intervallen [0; 2] bzw. [2; 4]. b) Berechne den Differenzenquotienten von h in den Intervallen [4; 5] bzw. [4; 8] und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. Ein Stein wird vom Rand einer Klippe lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat er die Höhe (gemessen zur Meeresoberfläche) h (t) = 85 + 35t − 5 t 2 erreicht (h in m, t in Sekunden). a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Steins in den Intervallen [0; 2] bzw. [1; 3]. b) Berechne den Differenzenquotienten von h im Intervall [4; 5] bzw. [4; 8] und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. In der vorliegenden Tabelle sieht man die Abfahrts- und Ankunftszeiten eines Zuges. Die Entfernung zwischen den Stationen A und B beträgt u km, zwischen B und C v km. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten für die einzelnen Streckenabschnitte. a) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 14:32 u = 65 B 15:05 15:15 v = 88 C 16:02 b) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 11:35 u = 114 B 13:08 13:15 v = 152 C 16:14 Die Funktion s mit s(t) = 0,6 t2 + 2t(s in m, t in Sekunden) beschreibt den zurückgelegten Weg eines Radfahrers in den ersten 15 Sekunden. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall [0; 7] und interpretiere dieses Ergebnis im gegebenen Kontext. Muster 80 Ó Technologie Darstellung Berechnung des Differenzenquotienten c7i9ei Merke 81 82 Ó Arbeitsblatt mittlere Geschwindigkeit w4g4kt 83 AN-R 1.3 M1 84 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
30 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient 2 Der Differenzenquotient – die Steigung der Sekante In Lösungswege 6 wurde bereits der Differenzenquotient einer linearen Funktion berechnet. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht der Veränderung des Funktionswerts, wenn man das Argument um eins vergrößert. Daher ist diese Steigung k auch der Differenzenquotient der linearen Funktion in jedem beliebigen Intervall [a; b]. Dies kann auf folgende Art überprüft werden: Sei f mit f(x) = kx + deine lineare Funktion. Für den Differenzenquotienten von f in [a; b] gilt: f(b) − f(a) _ b − a = kb + d − (ka + d) _ b − a = k · (b − a) _ b − a = k Der Differenzenquotient einer linearen Funktion Der Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) einer linearen Funktion f in [a; b] entspricht der Steigung k der linearen Funktion. Bestimme den Differenzenquotienten der Funktion f im Intervall [a; b](a < b). a) f(x) = 12x − 4 c) f(x) = − 4x + 1 e) f(x) = rx + t g) f(r) = rx + t b) f(x) = 12 − 4x d) f(x) = 1 − 45x f) f(x) = v − zx h) f(t) = rx + t Betrachtet man eine beliebige nicht lineare Funktion, so kann man den Differenzenquotienten im Intervall [a; b] auch als Steigung k einer linearen Funktion interpretieren, die durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) geht. Diese lineare Funktion s wird Sekante von f in [a; b] genannt. Die Steigung der Sekante k wird auch als mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [a; b]bezeichnet. Geometrische Interpretation des Differenzenquotienten einer Funktion f in [a; b] Den Differenzenquotienten oder die mittlere Änderungsrate einer Funktion f kann man als Steigung k der Sekante von f in [a; b]interpretieren. Diese Steigung entspricht dann der mittleren Änderung der Funktionswerte von f, wenn das Argument um 1 erhöht wird. a) Berechne den Differenzenquotienten von f in [1; 10] und interpretiere diesen. b) Stelle die Funktionsgleichung der Sekante von f in [1; 10] auf. a) Es gilt f(1) = 1und f(10) = − 1. f(10) − f(1) _ 10 − 1 = − 1 − 1 _ 9 = − 2 _ 9 Vergrößert man das Argument von f im Intervall [1; 10] um 1, dann wird der Funktionswert im Mittel um 2 _ 9 kleiner (oder die Funktion f fällt in [1; 10] im Mittel um 2 _ 9 ). x f(x) 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 –1 0 1 k 1 k 1 k f Merke 85 b – a x f(x) f s f(a) f(b) a b f(b) – f(a) MerkeÓ Technologie Darstellung Sekantensteigung 8mb66c Muster 86 x f(x) 2 4 6 8 101214 2 4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
31 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient b) Der Differenzenquotient von f in [1; 10] entspricht der Steigung der Sekante s. Daher kann man k und einen Punkt von s (z.B. (1|1 )) in die Geradengleichung einsetzen: s(x) = kx + d → 1 = − 2 _ 9 ·1+d → d = 11 _ 9 → s(x) = − 2 _ 9 ·x+ 11 _ 9 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. 1) Zeichne die Sekanten von f in [a; b]und [a; c]ein. 2) Berechne die Differenzenquotienten von f in [a; b] und [a; c] und interpretiere diese. 3) Stelle die Funktionsgleichung der Sekante von f in [a; b]und [a; c]auf. a) a = 1; b = 4; c = 8 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f c) a = 0;b = 3;c = 8 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f b) a = 0; b = 3; c = 7 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f d) a = 0;b = 5;c = 8 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f Berechne den Differenzenquotienten von f in [− 3; 5] und interpretiere diesen. a) f(x) = x 2 − 3 c) f(x) = 7 e) f(x) = x 3 − 3 x 2 + 5 b) f(x) = (x + 3) · (x − 5) d) f(x) = 3x3 − 2 f) f(x) = − 2 x 3 + 3 x2 − 3 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Gib jeweils drei verschiedene Intervalle von f an, in denen die mittlere Änderungsrate von f 1) positiv 2) negativ ist. Gegeben sind die Funktion f und die beiden Punkte P = (u|f(u))und Q = (r|f(r)) mit r > u. Gib an, ob die Aussage richtig ist und begründe deine Entscheidung. a) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] positiv, dann ist die Funktion f streng monoton steigend. b) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] null, dann ist die Funktion eine konstante Funktion. c) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] negativ, dann gilt f(r) < f(u). d) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] null, dann gilt P = Q. e) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] null, dann gilt f(r) = f(u). 87 88 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f 89 Ó Technologie Darstellung Sekantensteigung 36bf4p 90 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
32 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient a) Gib eine Funktion an, deren mittlere Änderungsrate im Intervall [3; 5] 4 ist. b) Gib eine Funktion an, deren mittlere Änderungsrate in jedem Intervall [a; b] 4 ist. Gib eine Funktion und ein Intervall [a; b] mit den gegebenen Eigenschaften an. a) f besitzt in [a; b] einen positiven Differenzenquotienten und ist nicht streng monoton steigend in [a; b]. b) f besitzt in [a; b] einen negativen Differenzenquotienten und ist nicht streng monoton fallend in [a; b]. Beweise die Gültigkeit des folgenden Satzes. a) Ist eine Funktion f in einem Intervall [a; b] streng monoton steigend, dann ist der Differenzenquotient von f in [a; b]positiv. b) Ist eine Funktion f in einem Intervall [a, b] streng monoton fallend, dann ist die mittlere Änderungsrate von f in [a; b]negativ. Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Ist der Differenzenquotient einer Funktion f in [a; b] (1) , dann muss gelten: (2) . (1) (2) positiv f ist in [a; b] streng monoton steigend negativ f ist eine lineare Funktion null f(a) = f(b) In der Abbildung sieht man den Graphen einer Funktion f. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. x f(x) 2 4 6 8 1012141618 –6 –4 –2 2 4 6 8 0 f A Der Differenzenquotient von f in [− 4; 0]ist positiv. B Die mittlere Änderungsrate von f in [− 4; 2]ist 0,5. C Die Änderung der Funktionswerte im Intervall [− 4; 7] ist − 1 _ 11. D Die Steigung der Sekante von f in [− 2; 16]ist null. E Der Differenzenquotient von f ist in jedem Intervall von f positiv. Gib den Differenzenquotienten der Funktion im angegebenen Intervall an. a) x → h(x) [r; r + s] c) t → h(t) [s; s + v] e) x → S(x) [u; v] b) x → V(x) [− u; u] d) x → N(x) [r − 2; r + 2] f) t → V(t) [u − 9; u − 8] 91 92 93 AN-R 1.3 M1 94 AN-R 1.3 M1 95 Ó Arbeitsblatt Differenzenquotient – geometrische Interpretation k775fx 96 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
33 2.2 Der Differentialquotient Lernziele: º Den Differentialquotienten definieren und anwenden können º Den Differentialquotienten als momentane Änderungsrate in verschiedenen Kontexten interpretieren können º Den Differentialquotienten geometrisch deuten können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.1 A bsolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können AN-R 1.2 D en Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können AN-R 1.3 D en Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können Führe eine Polynomdivision durch oder verwende – wenn möglich – die Regel von Horner. a) x 3 − 8 _ x − 2 b) x 4 − 16 _ x − 2 c) x 3 − 2 x 2 − 19x + 20 _ x − 5 d) x 3 + 14 x2 + 5x − 308 _ x + 7 Die momentane Änderungsrate Fährt man mit dem Auto zu schnell, dann kann es vorkommen, dass man einen Strafzettel bekommt. Entweder wird man von einem Polizisten mit der Radarpistole oder von einem fix aufgestellten Radar erwischt. Es könnte z.B. passieren, dass man um 20 km/h zu schnell gefahren ist. Man spricht von der „momentanen“ Geschwindigkeit. Bei Musteraufgabe 80 wurde die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Springers beim Bungee-Jumping berechnet. Für den zurückgelegten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) gilt s(t) = 5t2 (t in Sekunden, s in Meter). Um die momentane Änderungsrate des Springers zum Zeitpunkt t = 4 szu berechnen, kann der Differenzenquotient als Annäherung verwendet werden. Dabei kann man z.B. mit dem Intervall [4; 5] beginnen und dieses immer kleiner machen: _ v (4; 5) = s(5) − s(4) _ 5 − 4 = 45 m/s, _ v (4; 4,1) = s(4,1) − s(4) _ 4,1 − 4 = 40,5 m/s _ v (4; 4,5) = s(4,5) − s(4) _ 4,5 − 4 = 42,5 m/s _ v (4; 4,01) = s(4,01) − s(4) _ 4,01 − 4 = 40,05 m/s _ v (4; 4,2) = s(4,2) − s(4) _ 4,2 − 4 = 41ms _ v (4; 4,000 1) = s(4,000 1) − s(4) _ 4,000 1 − 4 = 40,000 5 m/s Man könnte vermuten, dass 40 m/s die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 s ist. Je kleiner man das Intervall um 4 wählt, desto mehr nähert sich die mittlere Geschwindigkeit dem Wert 40 m/s an. Um diese Erkenntnis auch formal ausdrücken zu können, werden der Grenzwertbegriff und eine weitere Schreibweise benötigt. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 wird mit s‘(4) abgekürzt und als Differentialquotient von s zum Zeitpunkt 4 bezeichnet. Kompetenzen Vorwissen 97 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
34 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient 2 Man schreibt: s‘(4) = v(4) = lim t→4 _ v (4; t) = lim t→4 s(t) − s(4) _ t − 4 Setzt man allerdings t = 4in obiger Rechnung ein, würde man durch 0 dividieren. In den folgenden Aufgaben wird der Grenzwert vermutet. Auf Seite 35 wird ein Trick eingeführt, mit welchem man die momentane Änderungsrate für Polynomfunktionen berechnen kann. Die momentane Änderungsrate kann auf folgende Weise interpretiert werden: Würde man mit dieser Geschwindigkeit weiterfahren, dann würde man 40 Meter in der Sekunde zurücklegen. Die momentane Änderungsrate kann auf Funktionen erweitert werden. Der Differentialquotient Sei f eine reelle Funktion, dann heißt f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x momentane (oder lokale) Änderungsrate (Differentialquotient) oder 1. Ableitung von f an der Stelle x. Sei s eine Zeit-Ort-Funktion, dann heißt v(t) = s‘(t) = lim z→t s(z) − s(t) _ z − t momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt t. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne näherungsweise die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 3Sekunden. a) s(t) = 0,6 t2 + 2 t b) s(t) = 5t2 + 20 t c) s(t) = 0,5 t2 + 1,5 t d) s(t) = 5t2 + 10 t Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) mit s(t) = 5t2 + 0,5 t(t in Sekunden). Berechne die gegebenen Ausdrücke näherungsweise. a) v (3) b) s‘(2) c) lim z→5 s(z) − s(5) _ z − 5 d) lim z→1 s(z) − s(1) _ z − 1 e) lim r→0 s(4 + r) − s(4) _ r f) lim u→0 s(6 + u) − s(6) _ u Ein Ball wird lotrecht nach oben geschossen. Seine Höhe (in m) nach t Sekunden ist ungefähr gegeben durch h (t) = 30 t − 5 t 2. a) Gib eine Vermutung an für die momentane Geschwindigkeit des Balls zum Zeitpunkt t = 2Sekunden mit Hilfe der Berechnung von Differenzenquotienten in den Intervallen [2; 3], [2; 2,5], [2; 2,1], [2; 2,000 001]. b) Gib eine Vermutung an für die momentane Geschwindigkeit des Balls zum Zeitpunkt t = 3Sekunden mit Hilfe der Berechnung von Differenzenquotienten. Eine Kugel wird von der Dachkante eines Gebäudes lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe h erreicht (h in m). 1) Berechne näherungsweise mit Hilfe von sehr kleinen Intervallen die Anfangsgeschwindigkeit, mit der die Kugel abgeschossen wurde. 2) Nach wie viel Sekunden schlägt die Kugel auf dem Boden auf? Berechne näherungsweise die Aufprallgeschwindigkeit der Kugel. a) h (t) = 105 + 20t − 5 t 2 c) h(t) = 180 + 45t − 5 t 2 b) h (t) = 40 + 35t − 5 t 2 d) h(t) = 70 + 25t − 5 t 2 Aus einem Gefäß rinnt Wasser heraus. Der Inhalt V (in Liter) des Gefäßes nach t Sekunden ist durch V(t)gegeben. 1) Nach wie vielen Sekunden ist das Gefäß leer? 2) Berechne die momentane Änderungsrate von V zum Zeitpunkt t = 3 snäherungsweise (mit Hilfe von kleinen Intervallen) und interpretiere das Ergebnis. a) V(t) = (50 − t) 2 b) V(t) = − t 2 + 900 c) V(t) = − 2 t 2 + 98 Ó Technologie Darstellung Differentialquotient 9f3vy5 Merke AN-R 1.2 M1 98 AN-R 1.2 M1 99 100 101 102 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
35 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der Differenzenquotient von s in [a; b] gibt den zurückgelegten Weg des Körpers im Intervall [a; b] an. B Der Differentialquotient von s zum Zeitpunkt u gibt die mittlere Änderungsrate von s in [u; u + 1] an. C Mittels s(b) − s(a) _ b − a kann die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Intervall [a; b] berechnet werden. D Die momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt h erhält man durch lim t→h _ v (h; t) = lim t→h s(t) − s(h) _ t − h E Die absolute Änderung und der Differentialquotient sind immer gleich. Neben der bekannten Definition für den Differentialquotienten einer Funktion f an der Stelle x wird oft auch eine andere Schreibweise verwendet: f‘(x) = lim u→0 f(x + u) − f(x) _ u . a) Schreibe den Differentialquotienten der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = 5t2zum Zeitpunkt t = 5in obiger Schreibweise an. b) Wie erhält man aus obiger Formel die Formel f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x ? Berechnen der momentanen Änderungsrate Um die momentane Änderungsrate von s mit s(t) = 5t2 zum Zeitpunkt t = 4 szu berechnen, wird ein Trick verwendet, um die Division durch 0 zu vermeiden. s‘(4) = v(4) = lim t→4 _ v (4; t) = lim t→4 s(t) − s(4) _ t − 4 = lim t→4 5 t 2 − 80 _ t − 4 Durch Herausheben und Anwendung der binomischen Formel erhält man: s‘(4) = lim t→4 5(t − 4)(t + 4) _ t − 4 = lim t→4 (5t + 20) = 40 m/s Mit Hilfe dieses Tricks konnte der Grenzwert berechnet werden. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4Sekunden. a) s (t) = 0,5 t2 + t b) s(t) = 5t2 + 15t c) s(t) = 0,5 t2 + 1,5t d) s(t) = 5t2 + 10t Bestimme die momentane Änderungsrate einer linearen Funktion f mit f(x) = kx + d. Das Volumen einer Kugel ist abhängig von ihrem Radius. Berechne die momentane Änderungsrate des Kugelvolumens für den gegebenen Radius. Verwende zur Berechnung des Differentialquotienten z.B. eine Polynomdivision. a) r = 3cm b) r = 7cm c) r = 8cm d) r = 9cm e) r = ucm Berechnen eines Differentialquotienten einer Funktion f an der Stelle u Geogebra: f’(u) f(x) = 3x2 + 3 f'(2) 12 TI-Nspire: d/d(x)(f(x))| x=u f(x): = 3x2 + 3 d/d(x)(f(x))| x=2 12 Casio: diff(Term, Variable, Ordnung, Stelle) diff(3 x2 + 3,x,1,2) 12 AN-R 1.3 M1 103 Ó Arbeitsblatt Differentialquotient – Schreibweise pq7e7z 104 Ó Technologie Darstellung Differentialquotient – Darstellungen s5x9xa 105 Ó Arbeitsblatt Berechnen des Differentialquotienten 9nt5nx 106 107 Technologie Ó Technologie Anleitung Berechnen des Differentialquotienten yx39a9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
36 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient 2 Geometrische Interpretation des Differentialquotienten – Steigung der Tangente Wie kann der Differentialquotient geometrisch interpretiert werden? In der ersten Abbildung sieht man eine Funktion f, zwei Punkte X und Z sowie die Sekante von f in [x; z]. Um den Differentialquotienten geometrisch interpretieren zu können, lässt man den Punkt Z entlang der Funktion f immer näher in Richtung X „wandern“ (vergleiche mittlere Abbildung). Theoretisch nähert sich der Punkt unendlich nahe dem Punkt X an. Eine Grenzgerade entsteht. Man nennt diese die Tangente von f an der Stelle x (vergleiche rechte Abbildung). Die Steigung dieser Grenzgeraden entspricht dann dem Differentialquotienten von f an der Stelle x. x f(x) 2 4 6 8 10 –2 4 6 –4 –2 0 X = (x 1 f(x)) Z = (z 1 f(z)) z – x f(z) – f(x) f x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –4 –2 0 X f x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –4 –2 0 X Tangente von f an der Stelle x f Geometrische Interpretation des Differentialquotienten Der Differentialquotient von f an der Stelle x ist die Steigung der Tangente im Punkt P = (x|f(x)). Man schreibt: k = f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x Umgekehrt versteht man unter der Tangente einer Funktion f an der Stelle x jene Gerade, die durch den Punkt P = (x|f(x)) geht und die Steigung f‘(x)besitzt. Die Steigung dieser Tangente wird oft auch als die Steigung von f an der Stelle x bezeichnet. In der Abbildung sieht man den Graphen von f, sowie die Tangente an der Stelle p. Gib den Differentialquotienten von f an der Stelle p an. a) x p f(x) 2 4 6 –2 2 –4 –2 0 f b) x f(x) 2 4 –4 –2 2 –4 –2 0 f p c) x f(x) 2 –6 –4 2 4 –2 0 f p –2 Berechne den Differentialquotienten von f mit f(x) = x 2 − 3 x + 1an der Stelle 2 und stelle die Funktionsgleichung der Tangente von f an der Stelle 2 auf. Zuerst wird die Steigung der Tangente an der Stelle 2 mit Hilfe des Differentialquotienten berechnet: k = f‘(2) = lim z→2 f(z) − f(2) _ z − 2 = lim z→2 z 2 − 3z + 1 + 1 _ z − 2 = lim z→2 z 2 − 3z + 2 _ z − 2 = lim z→2 (z − 1) = 1 (Der Zusammenhang z 2 − 3z + 2 _ z − 2 = z − 1kann z.B. mittels Polynomdivision erkannt werden.) Um die Tangentengleichung zu bestimmen, muss noch der Funktionswert an der Stelle 2 ermittelt werden. Setzt man dann alle Informationen in t(x) = k x + dein, erhält man d: f(2) = − 1 → − 1 = 1 · 2 + d → d = − 3 → t(x) = x − 3 Ó Technologie Darstellung Tangentenproblem 42xh53 Merke AN-R 1.3 M1 108 Muster 109 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
37 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Gegeben ist eine Funktion f. 1) Zeichne den Graphen von f. 2) Berechne den Differentialquotienten von f an der Stelle p. 3) Gib die Funktionsgleichung der Tangente von f an der Stelle p an und zeichne den Graphen der Tangente. a) f(x) = x 2 − 4,p = 1 b) f(x) = 2x2 − 2,p = 1 c) f(x) = 0,5 x2 − 2x, p = 3 Ist f‘(p) > 0, dann ist die Tangente von f an der Stelle p steigend. Ist f‘(p) < 0, dann ist die Tangente von f an der Stelle p fallend. Ist f‘(p) = 0, dann ist die Tangente von f an der Stelle p konstant (parallel zur x-Achse). x f(x) t 2 4 6 –2 2 p –4 –2 0 f x f(x) t 2 4 –4 –2 –6 –4 –2 0 f p x f(x) t 4 –4 –2 –6 –4 –2 0 f p Gegeben ist der Graph einer Funktion f. 1) Ermittle eine Stelle mit positivem Funktionswert und positiver Tangentensteigung. 2) Ermittle eine Stelle mit negativem Funktionswert und positiver Tangentensteigung. 3) Ermittle eine Stelle mit negativem Funktionswert und negativer Tangentensteigung. 4) Ermittle eine Stelle mit positivem Funktionswert und Tangentensteigung 0. 5) Ermittle eine Stelle mit negativem Funktionswert und Tangentensteigung 0. a) x f(x) 2 4 6 8 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f b) x f(x) 2 4 6 8 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f Gegeben ist der Graph einer Funktion f. 1) Gib ein Intervall an, in dem die Steigung von f an jeder Stelle positiv ist. 2) Gib ein Intervall an, in dem die Steigung von f an jeder Stelle negativ ist. 3) Gib zwei Stellen an, bei denen die Tangentensteigung von f gleich 0 ist. 4) Gib ein Intervall an, in dem die Funktionswerte von f an jeder Stelle negativ sind. a) x f(x) 2 4 6 –4 –2 2 –4 –2 0 f b) x f(x) f 2 4 6 –6 –4 –2 4 8 –8 –4 0 c) x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 –8 –6 –4 –2 0 f 110 Ó Technologie Darstellung Tangentensteigung Interpretation 66i573 111 112 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
38 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Zeichne den Graphen einer Funktion f im Intervall [0; 7] mit folgenden Eigenschaften: f‘(3) > 0 f(x) < 0für alle x ∈ [0; 5] f‘(5) < 0 f(x) > 0für alle x ∈ [6; 7] Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f‘(x) ist negativ für alle x ∈ [7; 10]. B Der Differenzenquotient von f in [2; 9] ist negativ. C Die momentane Änderungsrate von f an der Stelle 8 ist 2. D Der Differentialquotient von f an der Stelle 2 ist positiv. E f‘(5) = 3 Gib an, welche Eigenschaften auf die Funktion f zutreffen. 1) f(x) > 0für alle x ∈ [2; 5] 2) f(x) ⩽ 0für alle x ∈ [2; 5] 3) f(3) = f(5) 4) f‘(x) > 0für alle x ∈ [3; 6] 5) f‘(x) < 0für alle x ∈ (1; 3) 6) Der Differenzenquotient von f im Intervall [0; 7] ist 1 _ 7. 7) Die Steigung der Sekante von f im Intervall [2; 5] ist − 2 _ 3. 8) Der Differentialquotient von f an der Stelle 4 ist positiv. 9) Die momentane Änderungsrate von f an der Stelle 1 ist negativ. 10) Die Steigung der Funktion f an der Stelle 6 ist positiv. a) x f(x) 2 4 6 8 2 4 –2 0 f c) x f(x) 2 4 6 8 2 4 –2 0 f b) x f(x) 2 4 6 8 2 4 –2 0 f d) x f(x) 2 4 6 8 2 4 –2 0 f In den letzten Seiten wurden die Begriffe Differenzenquotient, Differentialquotient, Tangente, Sekante, momentane Änderungsrate, mittlere Änderungsrate, Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit erarbeitet. Fasse die einzelnen Begriffe zusammen und zeige Zusammenhänge auf. AN-R 1.3 M1 113 AN-R 1.3 M1 114 x f(x) 2 4 6 8 10121416 –2 2 4 6 –4 –2 0 f Ó Arbeitsblatt Maturaformat – Differentialrechung sv264p 115 Ó Arbeitsblatt Funktionen und ihre Eigenschaften z9fc8k » 116 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
39 2.3 Einfache Ableitungsregeln Lernziele: º Die Ableitungsfunktion einer Funktion definieren, interpretieren und bilden können º Die Potenzregel, Summenregel, Differenzenregel anwenden können º Die Gleichung der Tangente an eine Funktion an einer Stelle aufstellen können º Höhere Ableitungen bilden können º Die Schreibweise von Leibniz anwenden können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.3 D en Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können AN-R 2.1 E infache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k · f(x)]‘ […] AN-R 3.1 D en Begriff Ableitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können Das Berechnen des Differentialquotienten kann recht aufwändig sein. Um diese Berechnung zu vereinfachen, kann man mit Hilfe von Regeln die Ableitungsfunktion von f bilden. Ableitungsfunktion einer Funktion f Die Funktion f‘: D → ℝ nennt man Ableitungsfunktion von f (oder kurz Ableitung von f). Der Funktionswert von f‘an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Stelle x. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder differenzieren. Berechne die Ableitungsfunktion von f mit f(x) = x 5. Durch Anwendung der Regel von Horner und anschließendem Kürzen erhält man: f‘(x) = lim z→x z 5 − x 5 _ z − x = lim z→x (z − x) · (z 4 + z 3 x + z2 x 2 + z x3 + x 4) __________________ z − x = x 4 + x 3 ·x+x2 · x 2 +x·x3 + x 4 = 5x4 Bilde die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe des Differentialquotienten. a) f(x) = x 2 b) f(x) = x 3 c) f(x) = x 4 d) f(x) = x 5 e) f(x) = x 7 Wendet man die Definition des Differentialquotienten auf eine Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n ∈ ℕ\{0}) an, so erhält man die Potenzregel. Potenzregel (Ableitung von Potenzfunktionen) Die Ableitungsfunktion einer Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) = x n (n ∈ ℕ\{0}) ist gegeben durch: f‘(x) = n·xn−1 Beweis: Es gilt: f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x = lim z→x z n − x n _ z − x Durch Anwendung der Regel von Horner erhält man: f‘(x) = lim z→x z n − x n _ z − x = lim z→x (z − x)·(z n−1 + z n−2 x + zn−3 x 2 + … + z 1 x n−2 + x n−1) ________________________ z − x = lim z→x (z n−1 + z n−2 x + zn−3 x 2 + … + z 1 x n−2 + x n−1) = x n−1 + x n−2 x + … + x x n−2 + x n−1 Fasst man obigen Ausdruck zusammen erhält man: f‘(x) = n·xn−1 Kompetenzen Merke Muster 117 t 118 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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