50 2 Weg zur Matura Grundlagen der Differentialrechnung > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Quadratische Funktionen Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + b x + c. Den Scheitel (= der höchste oder tiefste Punkt der Parabel) kann man mittels S = (− b _ 2a |c − b 2 _ 4a) berechnen. a) Da der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt der Parabel ist, besitzt die Tangente in diesem Punkt die Steigung 0. 1) Leite die Formel für den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion f her. b) 1) Erkläre, warum es bei einer quadratischen Funktion nicht möglich ist, dass die Steigung der Tangente bei zwei verschiedenen Stellen gleich ist. c) 1) Bestimme jenen Punkt der Parabel f(x) = x 2 − 4 x + 7, in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Sekante von f im Intervall [− 3; 2] ist. d) 1) Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Ist der Differenzenquotient einer Funktion f mit f(x) = ax 2 + cin [− 2; 5] (1) , dann muss gelten: (2) . (1) (2) positiv f ist in [− 2; 5] streng monoton fallend negativ a > 0 null c < 0 Weg eines Läufers Ein Läufer bewegt sich näherungsweise gemäß der Zeit-OrtFunktion s mit s(t) = − 0,025 t3 + 0,7 t2 + 1,85 t(s in Meter, t in Sekunden). In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion s, sowie eine Sekante durch die beiden Punkte A = (1|2,525) und B = (6|30,9) des Graphen von s. t s(t) 2 4 6 8 10121416 –2 40 80 120 –40 0 A B s a) 1) Bestimme die Funktionsgleichung der Sekante durch die Punkte A und B. 2) Welche Bedeutung besitzt die Steigung der Sekante im gegebenen Kontext? b) 1) Bestimme jenen Zeitpunkt t in [2; 6], an dem der Differenzenquotient von s in [2; 6] gleich dem Differentialquotienten von s zum Zeitpunkt t ist. 2) Interpretiere diesen Zusammenhang im gegebenen Kontext. M2 168 K AN-R 1.3 FA-R 1.5 AN-R 1.3 AN-R 1.3 M2 169 FA-R 2.2 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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