51 Weg zur Matura Grundlagen der Differentialrechnung > Teil-2-Aufgaben Steigungswinkel einer Funktion Der Steigungswinkel einer Geraden ist definiert als jener Winkel zwischen 0° und 180°, den die Gerade mit der x-Achse einschließt. Dieser Winkel kann mittels k = tan(α)berechnet werden. In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 − 3 x + 5, sowie den Graphen der Tangente t mit t(x) = 3 x − 4von f an der Stelle 3. a) 1) Berechne die momentane Änderungsrate der Funktion f an den Stellen 3 und 5. b) 1) Bestimme jenen Punkt der Funktion f, in dem die Tangente einen Steigungswinkel von 135° besitzt. c) 1) Berechne den Steigungswinkel der Geraden t. d) 1) Gegeben sind die beiden Geraden u mit u (x) = kx + dund v mit v(x) = − k x + s. Erkläre mit Hilfe der Trigonometrie, welcher Zusammenhang zwischen dem Steigungswinkel von u und dem Steigungswinkel von v besteht. Druck in einem Behälter Der Druck in einem Behälter ändert sich während eines zehn Minuten dauernden Experiments. Die Funktion p mit der Gleichung p (t) = 5 _ 108 t 3 − 5 _ 12 t 2 + 7 beschreibt die Höhe des Drucks in Abhängigkeit von der Zeit t (p in bar, t in min). In der Abbildung sieht man den Graphen der Funktion p. a) 1) Berechne die momentane Änderungsrate von p zum Zeitpunkt t = 8. 2) Angenommen die momentane Änderungsrate bleibt ab dem Zeitpunkt t = 8bis zum Ende des Experiments gleich. Gib die Größe des Drucks am Ende des Experiments an. b) 1) Bestimme rechnerisch ein Intervall [0; u] so, dass die mittlere Änderungsrate in diesem Intervall 0 ist. c) 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die mittlere Änderungsrate von p in [0; 8]ist negativ. B Der Differentialquotient von p an der Stelle 3 ist positiv. C Es gibt eine Stelle k im Intervall [0; 10], für die gilt p ‘(k) = 0. D Die absolute Änderung von p im Intervall [4; 7]ist positiv. E Die momentane Änderungsrate von p ist für alle x ∈ [7; 10]negativ. M2 170 x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 –2 0 f t α AN-R 2.1 AG-R 4.2 AN-R 1.3 AG-R 4.1 FA-R 2.2 AG-R 4.1 M2 171 t p(t) 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 6 8 10 0 p AN-R 1.3 AN-R 1.3 FA-R 2.3 AN-R 1.3 AN-R 1.1 AN-R 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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