26 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient 2 Der Differenzenquotient – die mittlere Änderungsrate Neben der absoluten und der relativen Änderung wurde in Lösungswege 6 auch die mittlere Änderungsrate, auch Differenzenquotient genannt, erarbeitet. Dabei wird untersucht, wie sich ein Vorgang (bzw. eine Funktion) im Mittel verändert. In der folgenden Tabelle sieht man die Zuschauerzahlen aller Heimspiele des Wiener Fußballklubs SK Rapid Wien von der Saison 2018/2019 bis 2022/2023. Saison 2018/2019 2019/2020 2020/2021 2021/2022 2022/2023 Zuschauerzahl 260 240 211 200 17 500 225 820 289 300 Vergleicht man die Zuschauerzahlen der Saison 2018/2019 und der Saison 2022/2023, so hat man den Eindruck, dass die Anzahl der Zuschauer gestiegen ist. Es ist zu beachten, dass die Zuschauerzahlen dazwischen zurückgegangen sind. Z(t) steht für die Anzahl der Zuschauer in der Saison t. Um die mittlere Änderungsrate von der Saison 2018/2019 bis zur Saison 2022/2023 zu berechnen, dividiert man die Differenz der Zuschauerzahlen durch die vergangenen Jahre. Z(2022 / 2023) − Z(2018 / 2019) _______________ 4 = 289 300 − 260 240 _ 4 = 7265 Dieser Wert bedeutet, dass die Zuschauerzahl im Mittel um 7265 Personen pro Saison zugenommen hat. Diese durchschnittliche Veränderung muss nicht mit der tatsächlichen Veränderung pro Saison übereinstimmen, was bei obiger Tabelle deutlich zu sehen ist. Die Berechnung der mittleren Änderungsrate kann auch auf beliebige Funktionen verallgemeinert werden: Der Differenzenquotient – die mittlere Änderungsrate Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt f(b) − f(a) _ b − a der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion f in [− 4; − 1]. a) f(x) = − 3x + 2 c) f(x) = − 3 x 2 + 1 e) f(x) = x − 3 _ x − 4 g) f(x) = − 2 e 3x b) f(x) = 5x − 5 d) f(x) = 12x2 − 4 f) f(x) = x 2 − 3 _ x − 9 h) f(x) = − 2 e −3x An einem Sommertag werden auf der Insel Rab in Kroatien folgende Temperaturen T (in °C) gemessen. Uhrzeit 5 Uhr 9 Uhr 12 Uhr 16 Uhr 20 Uhr 23 Uhr Temperatur 22° 27° 28° 26° 24° 22° a) Berechne die absolute Änderung von T in den Intervallen [5; 9], [5; 16], [16; 23] und interpretiere die Werte im gegebenen Kontext. b) Berechne den Differenzenquotienten von T in den Intervallen [5; 9], [5; 16], [16; 23] und interpretiere die Werte im gegebenen Kontext. c) Gib ein Intervall an, in dem die absolute Änderung und die mittlere Änderungsrate von T den Wert 0 annehmen. Erkläre allgemein, wann die absolute Änderung und die mittlere Änderungsrate den Wert 0 annehmen. Merke 66 Ó Technologie Übung Differenzenquotient n6a265 67Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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