42 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln 2 Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente der Funktion f im Punkt (p |f(p)). a) f(x) = 3x2 − 3x p = − 4 d) f(x) = − 2 x 3 + x 2 p = 0,5 b) f(x) = − 4 x 2 +12x p = 1 e) f(x) = x 2 − 6x+9 p = − 2 c) f(x) = 3x3 − 3 x 2 p = 1 f) f(x) = − 12 x 3 p = 0 Funktionsgleichung der Tangente einer Funktion f an einer Stelle p Geogebra: Tangente(Stelle,Funktion) f(x) := 3x2 Tangente(2,f) y = 12x − 12 TI-Nspire: tangentLine(Funktion, Variable, Stelle) f(x) := 3x2 tangentLine(f(x),x,2) 12 x − 12 Casio: tanLine(Term, Variable, Stelle) tanLine(3 x2,x,2) 12 x − 12 Ermittle jene Punkte des Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 − 3 x 2 + 5, in denen die Steigung der Tangente gleich 9 ist. Die Steigungen der Tangenten an die Funktion erhält man mit Hilfe der ersten Ableitung. f‘(x) = 3x2 − 6 x Da jene Punkte gesucht sind, deren Tangente die Steigung 9 besitzen, muss gelten: f‘(x) = 9 → 3 x 2 − 6 x = 9 → x 2 − 2x − 3 = 0 Durch Lösen der Gleichung erhält man x 1 = − 1 und x2 = 3. Durch Einsetzen in die Funktion f erhält man die y-Werte und somit die gesuchten Punkte. f(− 1) = 1 f(3) = 5 → P 1 = (− 1|1) P2 = (3|5) Ermittle jene Punkte des Graphen der Funktion f, in denen die Steigung der Tangente gleich r ist. a) f(x) = 6x2 − 12 x r = 4 c) f(x) = − 3 x 3 + 9 x2 + 4 r = − 216 b) f(x) = − 2 x 2 + 15 x − 4 r = − 9 d) f(x) = x 3 − 6 x 2 r = − 9 Bestimme alle Punkte auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x 4 − 38 x 2 + 5, in denen die Tangente parallel zur Geraden g mit 120 x + y = − 3 ist. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung besitzen. Aus diesem Grund muss zuerst die Steigung von g abgelesen werden: g : y = − 120 x − 3 → k = − 120 Um nun alle Punkte auf dem Graphen von f zu finden, in denen die Steigung der Tangente − 120ist, muss die erste Ableitung von f gebildet werden. Anschließend setzt man f‘(x) gleich der Steigung k: f‘(x) = 4x3 − 76 x → − 120 = 4 x3 − 76 x Durch Lösen der Gleichung mit z.B. Polynomdivision oder Technologie erhält man: x 1 = − 5 x 2 = 2 x3 = 3 Durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion erhält man die Funktionswerte und damit die gesuchten Punkte: f(− 5) = − 320 f(2) = − 131 f(3) = − 256 P 1 = (− 5|− 320) P 2 = (2|− 131) P 3 = (3|− 256) Bestimme alle Punkte auf dem Graphen der Funktion f, in denen die Tangente parallel zur Geraden g ist. a) f(x) = x 2 − 5x+4 g:x − 2 y = 3 c) f(x) = x 3 _ 3 − 7 x 2 _ 2 +3x+4 g :81x+9y = 5 b) f(x) = 3x2 − 2 x + 6 g : 3 x = 5 + 3 y d) f(x) = x 4 _ 4 − 2 x 3 − 9 x 2 _ 2 + 1 g : − 14 x = 5 + y 132 Technologie Ó Technologie Anleitung Tangenten xh98rg Muster 133 134 Muster 135 136 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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