238 Binomialverteilung und weitere Verteilungen > Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen Langfristige Beobachtungen haben gezeigt, dass ein Neugeborenes mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 51 %ein Knabe ist. Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Knaben. Es werden n = 3 000Geburten untersucht. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 6und p = 1 _ 3. X 0 1 2 3 4 5 6 P(X) 0,0878 0,2634 0,3292 0,2194 0,0823 0,0165 0,0014 μist der Erwartungswert und σ die Standardabweichung der Verteilung. Berechne die Wahrscheinlichkeit P (μ − σ < X < μ + σ). Micha und Tim spielen gegeneinander Basketball. Man weiß, dass Micha aus sieben Meter Entfernung zum Korb mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 den Ball versenkt, bei Tim beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,8. Es wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der versenkten Bälle von Tim und die Zufallsvariable Y die versenkten Bälle von Micha an. a) Berechne die Anzahl der versenkten Bälle von Micha und Tim, die im langfristigen Mittel zu erwarten sind. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Micha mehr Körbe, als auf Dauer zu erwarten wäre? c) Wie stark streuen die Werte von Micha und Tim um den Erwartungswert? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht für Tim die Anzahl der versenkten Bälle um weniger als σ vom Erwartungswert ab? e) Wie oft müssten Micha bzw. Tim werfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einen Ball zu versenken 95 % übersteigt? Ein Kinderarzt weiß aus Erfahrung, dass 5 % aller Neugeborenen nach unauffälliger Schwangerschaft weniger als 2 500 g wiegen. Mehrlingsgeburten sind dabei ausgeschlossen. Aus den entsprechenden Geburtsprotokollen des vergangenen Jahres entnimmt er eine zufällige Stichprobe von zehn Protokollen. a) Mit wie vielen Geburtsgewichten unter 2 500 g muss der Arzt im Mittel rechnen? b) Wie stark streuen die Geburtsgewichte unter 2 500 g um den Erwartungswert? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Neugeborenes ein Geburtsgewicht unter 2 500 g hatte? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei Neugeborene ein Geburtsgewicht unter 2 500 g hatten? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens vier und höchstens sechs Neugeborene ein Geburtsgewicht unter 2 500 g hatten? f) Wie viele Geburtsprotokolle müsste der Arzt kontrollieren, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 95 % beträgt, mindestens ein Neugeborenes mit einem Gewicht unter 2 500 g dabei zu haben? WS-R 3.2 M1 885 WS-R 3.2 M1 886 887 888 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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