239 10.4 Hypergeometrische Verteilung Lernziele: º Die Definition der hypergeometrischen Verteilung kennen º Den Erwartungswert und die Varianz einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariablen bestimmen können Wenn sich bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nicht ändert und die Zufallsvariable diskret ist, liegt eine Binomialverteilung vor. Dies ist offensichtlich bei Ziehvorgängen mit Zurücklegen der Fall, nicht aber beim Ziehen ohne Zurücklegen. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung sich in einem solchen Fall ergibt, soll anhand eines Beispiels erläutert werden. In einem Kühlschrank lagern fünf Eier, von denen drei jedoch nicht mehr in Ordnung sind. Jemand entnimmt zwei Eier. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier an, die nicht in Ordnung sind. X kann die Werte 0, 1 oder 2 annehmen. Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit P(X = 1). Nach der Kombinatorik existieren ( 5 2) unterschiedliche Möglichkeiten aus fünf Eiern zwei (ohne Zurücklegen) auszuwählen. Für X = 1gilt: Es werden ein schlechtes Ei und ein gutes Ei entnommen. Für das eine schlechte Ei gibt es ( 3 1) und für das eine gute Ei ( 2 1) unterschiedliche Möglichkeiten der Entnahme. Nach dem Zählprinzip also ( 3 1) · ( 2 1) günstige Fälle. Daher gilt: f(1) = P(X = 1) = ( 3 1)( 2 1) _ ( 5 2) = 3 · 2 _ 10 = 3 _ 5 = 0,6 Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den zwei entnommenen Eiern ein schlechtes befindet, ist daher 0,6. Allgemein gilt für X = k: Es werden k schlechte Eier und 2 − kgute Eier entnommen. Für die k schlechten Eier gibt es ( 3 k) und für die 2 − kguten Eier ( 2 2 − k ) unterschiedliche Möglichkeiten der Entnahme. Nach dem Zählprinzip also ( 3 k) · ( 2 2 − k ) günstige Fälle. Daher gilt: f(k) = P(X = k) = ( 3 k)( 2 2 − k ) _ ( 5 2) für 0 ⩽ k ⩽ 2 und f(k) = 0, wenn k > 2 Weitere Verallgemeinerung des Beispiels: N ist die Anzahl der Elemente einer Grundgesamtheit, aus der n Elemente ohne Zurücklegen entnommen werden. Dafür gibt es ( N n) unterschiedliche Möglichkeiten. M ist die Anzahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft. Dann haben N − MElemente diese Eigenschaft nicht. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Elemente mit der bestimmten Eigenschaft an. Interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den natürlichen Wert k annimmt, gilt: P(X = k) = ( M k)·( N − M n − k ) _ ( N n) Man spricht dann von einer hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Kompetenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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