240 Binomialverteilung und weitere Verteilungen > Hypergeometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Eine diskrete Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(k) = P(X = k) = ( M k)·( N − M n − k ) _ ( N n) (0 ⩽ k ⩽ n) heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M und n. N … Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit n … Anzahl der Elemente, die ohne Zurücklegen gezogen werden M … Anzahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft k … Anzahl der Elemente von n mit der bestimmten Eigenschaft Für den Erwartungswert E (X) und die Varianz V(X)gilt (ohne Beweis): E(X) = μ = n · M _ N V(x) = σ 2 = n · M _ N · (1 − M _ N ) · N − n _ N − 1 Beachte: Ist die Stichprobe n im Vergleich zur Grundgesamtheit N klein (Faustregel: n _ N ⩽ 0,05), kann die hypergeometrische Verteilung mit der Binomialverteilung angenähert werden. Eine Firma produziert 350 elektronische Bauteile des gleichen Typs, von denen fünf defekt sind. Um die Qualität zu prüfen, untersucht der Käufer der Bauteile eine Stichprobe. Dazu werden zufällig 20 Bauteile der Produktion genommen und untersucht. Wenn mehr als ein defektes Bauteil gefunden wird, wird die Sendung zurückgeschickt. Wie viele defekte Bauteile kann man erwarten? Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Warensendung wieder zurückgeschickt wird. Eine Firma produziert insgesamt 200 elektronische Bauteile des gleichen Typs von denen zwei defekt sind. Um die Qualität zu prüfen, untersucht der Käufer der Bauteile eine Stichprobe. Dazu werden zufällig 20 Bauteile herausgenommen und untersucht. Wenn mehr als ein defektes Bauteil gefunden wird, wird die Sendung zurückgeschickt. Wie viele defekte Bauteile kann man erwarten? Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Warensendung wieder zurückgeschickt wird. Zur Qualitätssicherung wird aus einer Produktion eine Stichprobe von 60 Stück entnommen, von denen acht fehlerhaft sind. Der Prüfer entnimmt der Stichprobe zufällig zehn Artikel und überprüft sie. a) Wie viele fehlerhafte Artikel kann er erwarten? b) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei der zehn Artikel fehlerhaft sind. c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei der zehn Artikel fehlerhaft sind. In einer Urne befinden sich 16 weiße und acht rote Kugeln. Es werden fünf Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine rote Kugel dabei ist. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier weiße Kugeln gezogen werden. In einer Urne befinden sich vier grüne, acht rote, sieben gelbe und fünf weiße Kugeln. Es werden fünf Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keine rote Kugel dabei ist. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier weiße Kugeln gezogen werden. Merke 889 890 891 892 893 Ó Arbeitsblatt Hypergeometrische Verteilung pv49d6 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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