241 10.5 Geometrische Verteilung Lernziele: º Die Definition der geometrischen Verteilung kennen º Den Erwartungswert und die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen bestimmen können Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit dem Parameter p. Man betrachtet auch hier Bernoulliversuche, also eine Folge von unabhängigen Zufallsexperimenten, die jeweils nur die Ergebnisse „Erfolg“ oder „Misserfolg“ haben. Bei gegebener Erfolgswahrscheinlichkeit p interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man genau k Versuche bis zum ersten Erfolg braucht. Man wirft zum Beispiel einen sechsseitigen Würfel und möchte die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass beim sechsten Wurf die Augenzahl 1 erscheint. „Augenzahl 1“ ist der gewünschte Erfolg, k = 6die Anzahl der Versuche bis zum Erfolg und p = 1 _ 6die Erfolgswahrscheinlichkeit. 1 − p = 5 _ 6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 1 nicht auftritt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Versuche bis zum Erfolg an. Da genau 5-mal hintereinander die Augenzahl 1 nicht auftritt, gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P(X = 6) = 1 _ 6 · ( 5 _ 6) 5 ≈ 0,067. Geometrische Verteilung Gegeben ist ein Bernoulliversuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = k) = p · (1 − p) k−1 (Erfolg beim k-ten Versuch) heißt geometrische Verteilung mit dem Parameter p Für den Erwartungswert E (x)und die Varianz V(X)gilt (ohne Beweis): E(x) = μ = 1 _ p V(X) = σ 2 = 1 − p _ p 2 In einer Werkstatt ist bekannt, dass 15 % der Autos, die zur Reparatur kommen, einen Motorschaden haben. Die Zufallsvariable X gibt die Zahl der ankommenden Autos bis zum ersten Fahrzeug mit einem Motorschaden an. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 10. angekommene Auto das erste mit einem Motorschaden ist? b) Bestimme den Erwartungswert E (X), die Varianz V(X) sowie die Standardabweichung σ. Um beim „Mensch ärgere dich nicht“ ansetzen zu dürfen, muss eine 6 gewürfelt werden. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe an, bis das erste Mal die 6 auftritt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man erst beim dritten Versuch eine 6 wirft? b) Bestimme den Erwartungswert E (X), die Varianz V(X) sowie die Standardabweichung σ. Jemand hat zehn Schlüssel auf seinem Schlüsselbund, von denen einer sperrt. Er probiert einen Schlüssel. Passt dieser nicht ins Schloss, schüttelt er den Schlüsselbund und probiert erneut einen Schlüssel. Wie groß ist die Wahrscheinlicht, dass er auf diese Weise mit dem vierten ausprobierten Schlüssel die Türe öffnen kann? Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Versuche an, bis der passende Schlüssel gefunden wird. Wie groß sind E (X), V(X) und σ? Kompetenzen Merke 894 895 896 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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