34 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient 2 Man schreibt: s‘(4) = v(4) = lim t→4 _ v (4; t) = lim t→4 s(t) − s(4) _ t − 4 Setzt man allerdings t = 4in obiger Rechnung ein, würde man durch 0 dividieren. In den folgenden Aufgaben wird der Grenzwert vermutet. Auf Seite 35 wird ein Trick eingeführt, mit welchem man die momentane Änderungsrate für Polynomfunktionen berechnen kann. Die momentane Änderungsrate kann auf folgende Weise interpretiert werden: Würde man mit dieser Geschwindigkeit weiterfahren, dann würde man 40 Meter in der Sekunde zurücklegen. Die momentane Änderungsrate kann auf Funktionen erweitert werden. Der Differentialquotient Sei f eine reelle Funktion, dann heißt f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x momentane (oder lokale) Änderungsrate (Differentialquotient) oder 1. Ableitung von f an der Stelle x. Sei s eine Zeit-Ort-Funktion, dann heißt v(t) = s‘(t) = lim z→t s(z) − s(t) _ z − t momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt t. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne näherungsweise die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 3Sekunden. a) s(t) = 0,6 t2 + 2 t b) s(t) = 5t2 + 20 t c) s(t) = 0,5 t2 + 1,5 t d) s(t) = 5t2 + 10 t Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) mit s(t) = 5t2 + 0,5 t(t in Sekunden). Berechne die gegebenen Ausdrücke näherungsweise. a) v (3) b) s‘(2) c) lim z→5 s(z) − s(5) _ z − 5 d) lim z→1 s(z) − s(1) _ z − 1 e) lim r→0 s(4 + r) − s(4) _ r f) lim u→0 s(6 + u) − s(6) _ u Ein Ball wird lotrecht nach oben geschossen. Seine Höhe (in m) nach t Sekunden ist ungefähr gegeben durch h (t) = 30 t − 5 t 2. a) Gib eine Vermutung an für die momentane Geschwindigkeit des Balls zum Zeitpunkt t = 2Sekunden mit Hilfe der Berechnung von Differenzenquotienten in den Intervallen [2; 3], [2; 2,5], [2; 2,1], [2; 2,000 001]. b) Gib eine Vermutung an für die momentane Geschwindigkeit des Balls zum Zeitpunkt t = 3Sekunden mit Hilfe der Berechnung von Differenzenquotienten. Eine Kugel wird von der Dachkante eines Gebäudes lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe h erreicht (h in m). 1) Berechne näherungsweise mit Hilfe von sehr kleinen Intervallen die Anfangsgeschwindigkeit, mit der die Kugel abgeschossen wurde. 2) Nach wie viel Sekunden schlägt die Kugel auf dem Boden auf? Berechne näherungsweise die Aufprallgeschwindigkeit der Kugel. a) h (t) = 105 + 20t − 5 t 2 c) h(t) = 180 + 45t − 5 t 2 b) h (t) = 40 + 35t − 5 t 2 d) h(t) = 70 + 25t − 5 t 2 Aus einem Gefäß rinnt Wasser heraus. Der Inhalt V (in Liter) des Gefäßes nach t Sekunden ist durch V(t)gegeben. 1) Nach wie vielen Sekunden ist das Gefäß leer? 2) Berechne die momentane Änderungsrate von V zum Zeitpunkt t = 3 snäherungsweise (mit Hilfe von kleinen Intervallen) und interpretiere das Ergebnis. a) V(t) = (50 − t) 2 b) V(t) = − t 2 + 900 c) V(t) = − 2 t 2 + 98 Ó Technologie Darstellung Differentialquotient 9f3vy5 Merke AN-R 1.2 M1 98 AN-R 1.2 M1 99 100 101 102 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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