35 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differentialquotient Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der Differenzenquotient von s in [a; b] gibt den zurückgelegten Weg des Körpers im Intervall [a; b] an. B Der Differentialquotient von s zum Zeitpunkt u gibt die mittlere Änderungsrate von s in [u; u + 1] an. C Mittels s(b) − s(a) _ b − a kann die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Intervall [a; b] berechnet werden. D Die momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt h erhält man durch lim t→h _ v (h; t) = lim t→h s(t) − s(h) _ t − h E Die absolute Änderung und der Differentialquotient sind immer gleich. Neben der bekannten Definition für den Differentialquotienten einer Funktion f an der Stelle x wird oft auch eine andere Schreibweise verwendet: f‘(x) = lim u→0 f(x + u) − f(x) _ u . a) Schreibe den Differentialquotienten der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = 5t2zum Zeitpunkt t = 5in obiger Schreibweise an. b) Wie erhält man aus obiger Formel die Formel f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x ? Berechnen der momentanen Änderungsrate Um die momentane Änderungsrate von s mit s(t) = 5t2 zum Zeitpunkt t = 4 szu berechnen, wird ein Trick verwendet, um die Division durch 0 zu vermeiden. s‘(4) = v(4) = lim t→4 _ v (4; t) = lim t→4 s(t) − s(4) _ t − 4 = lim t→4 5 t 2 − 80 _ t − 4 Durch Herausheben und Anwendung der binomischen Formel erhält man: s‘(4) = lim t→4 5(t − 4)(t + 4) _ t − 4 = lim t→4 (5t + 20) = 40 m/s Mit Hilfe dieses Tricks konnte der Grenzwert berechnet werden. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4Sekunden. a) s (t) = 0,5 t2 + t b) s(t) = 5t2 + 15t c) s(t) = 0,5 t2 + 1,5t d) s(t) = 5t2 + 10t Bestimme die momentane Änderungsrate einer linearen Funktion f mit f(x) = kx + d. Das Volumen einer Kugel ist abhängig von ihrem Radius. Berechne die momentane Änderungsrate des Kugelvolumens für den gegebenen Radius. Verwende zur Berechnung des Differentialquotienten z.B. eine Polynomdivision. a) r = 3cm b) r = 7cm c) r = 8cm d) r = 9cm e) r = ucm Berechnen eines Differentialquotienten einer Funktion f an der Stelle u Geogebra: f’(u) f(x) = 3x2 + 3 f'(2) 12 TI-Nspire: d/d(x)(f(x))| x=u f(x): = 3x2 + 3 d/d(x)(f(x))| x=2 12 Casio: diff(Term, Variable, Ordnung, Stelle) diff(3 x2 + 3,x,1,2) 12 AN-R 1.3 M1 103 Ó Arbeitsblatt Differentialquotient – Schreibweise pq7e7z 104 Ó Technologie Darstellung Differentialquotient – Darstellungen s5x9xa 105 Ó Arbeitsblatt Berechnen des Differentialquotienten 9nt5nx 106 107 Technologie Ó Technologie Anleitung Berechnen des Differentialquotienten yx39a9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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