28 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient 2 Der Flächeninhalt A (in m2) eines Kreises ist abhängig von seinem Radius r (in m). a) Berechne den Differenzenquotienten von A in den Intervallen [0; 2], [2; 4], [4; 6] und interpretiere die Ergebnisse. b) Stelle eine Formel für die Berechnung des Differenzenquotienten von A in [u; v]auf. c) Kann der Differenzenquotient im Intervall [u; v]mit v > uim gegebenen Kontext negativ sein? Begründe deine Entscheidung. d) Berechne den Differenzenquotienten von A in den Intervallen [3; 4], [3; 3,5], [3; 3,1] und [3; 3,000 001]. Was fällt dir auf? Das Volumen V (in m3) einer Kugel ist abhängig von ihrem Radius r (in m). a) Berechne den Differenzenquotienten von V in den Intervallen [0; 2], [2; 4], [4; 6] und interpretiere die Ergebnisse. b) Stelle eine Formel für die Berechnung des Differenzenquotienten von V in [u; v]auf. c) Berechne den Differenzenquotient von V in den Intervallen [3; 4], [3; 3,5], [3; 3,0001] und [3; 3,000 001]. Was fällt dir auf? Der Umfang U eines Quadrats ist abhängig von seiner Seitenlänge a. Zeige, dass der Differenzenquotient von U in jedem Intervall [c; d] mit c < dkonstant ist. Die Anzahl der Bakterien A in einer Probe zum Zeitpunkt t (in Stunden) kann durch A (t) modelliert werden. Berechne die 1) absolute Änderung 2) mittlere Änderungsrate 3) relative Änderung von A im Intervall [a; b] und interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. a) A(t) = 40·e0,346 574·t a=4b=8 c) A(t) = 2000 · e−0,135·t a=2b=4 b) A(t) = 10·e0,279 574·t a=2b=4 d) A(t) = 7350 · e−0,574·t a=1b=6 In einer Schule werden die Anzahlen der ausgezeichneten Erfolge in den letzten Jahren miteinander verglichen. E(t) steht für die Anzahl der ausgezeichneten Erfolge im Jahr t, wobei t = 0für das Jahr 2019 steht. Es gilt: E(4) − E(0) _ 4 = 10 und E(4) − E(0) _ E(0) ≈ 0,182 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Anzahl der ausgezeichneten Erfolge ist von 2019 bis 2023 jährlich um 10 gestiegen. B Im Jahr 2023 gab es um 40 ausgezeichnete Erfolge mehr als im Jahr 2019. C Die Anzahl der ausgezeichneten Erfolge ist von 2019 bis 2023 um ca. 182 Prozent gestiegen. D Die mittlere Änderungsrate der ausgezeichneten Erfolge von 2019 bis 2023 ist 10. E Es ist nicht möglich, dass es im Jahr 2021 weniger ausgezeichnete Erfolge gegeben hat als im Jahr 2019. Im Jahr 2020 sind in einer Stadt 32 285 Personen vor Gericht verurteilt wurden, im Jahr 2021 waren es 31 541 Personen, im Jahr 2022 waren es 30 227 Personen. Interpretiere die einzelnen Rechnungen im vorliegenden Kontext. a) 30 227 − 32 285 = − 2 058 b) 30 227 − 32 285 _ 32 285 ≈ − 0,064 c) 30 227 − 32 285 _ 2 = − 1 029 74 Ó Technologie Darstellung Berechnung des Differenzenquotienten w5329p 75 76 77 Ó Arbeitsblatt Relative Änderung bei Exponentialfunktionen yk25y6 AN-R 1.1 M1 78 Ó Arbeitsblatt Änderungsmaße zq52dx 79 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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