29 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit Beim Bungee-Jumping gilt für den zurückgelegten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) s(t) = 5t2 (t in Sekunden, s in Meter). a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; 3] und [3; 7]. b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1; t 2]. a) Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [0; 3] wird mit _ v (0; 3) abgekürzt und durch zurückgelegter Weg (in Meter) _______________ vergangene Zeit (in Sekunden) = s(3) − s(0) _ 3 − 0 , also dem Differenzenquotienten, berechnet: _ v (0; 3) = 45 − 0 _ 3 − 0 = 15 m/s. b) _ v (t 1; t 2) = s(t 2) − s(t 1) _ t 2 − t 1 = 5 t 2 2 − 5 t 1 2 _ t 2 − t 1 = 5 · (t 2 − t 1) · (t 2 + t 1) ___________ t 2 − t 1 = 5 · (t 2 + t 1) m / s Der Differenzenquotient – die mittlere Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s in Abhängigkeit von t, dann wird der Differenzenquotient im Intervall [t 1; t 2] zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit verwendet: mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1; t 2] : _ v (t 1; t 2) = s(t 2) − s(t 1) _ t 2 − t 1 Wird ein Ball mit einer Abschussgeschwindigkeit von 45 m/s vom Boden lotrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe h (in m) nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h(t) = 45t − 5 t 2. a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Balls in den Intervallen [0; 2] bzw. [2; 4]. b) Berechne den Differenzenquotienten von h in den Intervallen [4; 5] bzw. [4; 8] und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. Ein Stein wird vom Rand einer Klippe lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat er die Höhe (gemessen zur Meeresoberfläche) h (t) = 85 + 35t − 5 t 2 erreicht (h in m, t in Sekunden). a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Steins in den Intervallen [0; 2] bzw. [1; 3]. b) Berechne den Differenzenquotienten von h im Intervall [4; 5] bzw. [4; 8] und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. In der vorliegenden Tabelle sieht man die Abfahrts- und Ankunftszeiten eines Zuges. Die Entfernung zwischen den Stationen A und B beträgt u km, zwischen B und C v km. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten für die einzelnen Streckenabschnitte. a) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 14:32 u = 65 B 15:05 15:15 v = 88 C 16:02 b) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 11:35 u = 114 B 13:08 13:15 v = 152 C 16:14 Die Funktion s mit s(t) = 0,6 t2 + 2t(s in m, t in Sekunden) beschreibt den zurückgelegten Weg eines Radfahrers in den ersten 15 Sekunden. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall [0; 7] und interpretiere dieses Ergebnis im gegebenen Kontext. Muster 80 Ó Technologie Darstellung Berechnung des Differenzenquotienten c7i9ei Merke 81 82 Ó Arbeitsblatt mittlere Geschwindigkeit w4g4kt 83 AN-R 1.3 M1 84 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=