235 10.3 Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen Lernziele: º Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable bestimmen können º Den Erwartungswert interpretieren können º Die Varianz und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariable bestimmen können º Die Varianz bzw. die Standardabweichung interpretieren können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: WS-R 3.2 [ …] Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können […] Der Erwartungswert E (X) = μ, die Varianz V(X) = σ 2 und die Standardabweichung σ = 9 __ V(X)für diskrete Zufallsvariablen wurden bereits im Kapitel 9 besprochen. Auch für eine binomialverteilte Zufallsvariable X können nun diese Maßzahlen ermittelt werden. Man betrachtet zunächst die Parameter p (Erfolgswahrscheinlichkeit) und n = 2. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung f gilt dann: f(0) = P(X = 0) = ( 2 0) · p 0 · (1 − p) 2 = 1·1·(1 − p) 2 = (1 − p) 2 f(1) = P(X = 1) = ( 2 1) · p 1 · (1 − p) 1 = 2 · p · (1 − p) f(2) = P(X = 2) = ( 2 2) · p 2 · (1 − p) 0 = 1·p2 ·1 = p2 Für den Erwartungswert und die Varianz ergeben sich laut Definition: E (X) = 0 · f(0) + 1 · f(1) + 2 · f(2) = 0 · (1 − p) 2 + 1 · 2 p(1 − p) + 2 p2 = 2 p − 2 p 2 + 2 p2 = 2 p V(X) = σ 2 = [0 2 · f(0) + 1 2 · f(1) + 2 2 · f(2)] − μ 2 = [2 p(1 − p) + 4 p2] − 4 p 2 = 2 p(1 − p) Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsvariable X. Bestimme mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und n = 3für X den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2. Für die Parameter p und n = 2ergeben sich E (X) = 2 pund V(X) = 2 p(1 − p) und für die Parameter p und n = 3die Ausdrücke E (X) = 3 pund V(X) = 3 p(1 − p). Es kann für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern p und einem beliebigen natürlichen n gezeigt werden: Erwartungswert und Varianz Ist X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern p und n, so gilt für den Erwartungswert und die Varianz von X: μ = E(X) = n·p σ 2 = V(X) = n · p · (1 − p) Die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts wird auf Seite 276 allgemein bewiesen. Auf den Beweis für V(X) wird wegen seiner Schwierigkeit und Komplexität nicht eingegangen. Kompetenzen 873 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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