236 Binomialverteilung und weitere Verteilungen > Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen 10 Bei einem Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit mit p (0 < p < 1) gegeben. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X geben die Anzahl der Erfolge beim n-maligen unabhängigen Wiederholen des Versuchs an. E ist der Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung. Kreuze für n > 1die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E σ 2 = 9 _n · p · (1 − p) σ 2 = 9 _V (X) V(X) = n · p · (1 − p) E(X) = n · (1 − p) E(X) = n · p Ein sechsseitiger Würfel wird 18-mal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei auftretenden Sechser an. Bestimme und interpretiere den Erwartungswert E (X) und die Standardabweichung σ. Die Zufallsvariable ist binomialverteilt, da jeder einzelne Wurf ein Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p ist. Für die Parameter gilt: n = 18und p = 1 _ 6. E(X) = μ = 18 · 1 _ 6 = 3und V (X) = 18 · 1 _ 6 · 5 _ 6 = 5 _ 2 = 2,5. Daher ist σ = 9 _ 2,5 ≈ 1,58 Das bedeutet: Wird der beschriebene Zufallsversuch sehr oft wiederholt, nähern sich auf lange Sicht gesehen die Werte für den Mittelwert und der empirischen Varianz der Datenreihen den Werten μ = 3und V(X) = 2,5an. Da σ ≈ 1,58ist, werden es oft 3 ± 1,58, d.h. zwei bis vier Sechser, sein. Aus 3 + 2 σ ≈ 6,16folgt, dass sieben Sechser oder mehr selten sein werden. 3 − 2 σ < 0bleibt unberücksichtigt. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen entspricht dem langfristigen Durchschnittswert (Mittelwert) der Erfolge eines Experiments. Ist die Varianz sehr klein, kann man erwarten, dass ein Großteil der Zufallsergebnisse nahe am Erwartungswert liegen. Ist die Varianz sehr groß, ist zu erwarten, dass sich die Zufallsergebnisse eher stark verteilen. Die Standardabweichung bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen kann als Maßzahl verwendet werden, wo ungefähr die Grenze zwischen „tritt häufig ein“ oder „tritt eher selten ein“ liegt. Man kann sagen, dass die Erfolge „häufig“ im Bereich μ ± σ und „eher selten“ außerhalb von μ ± 2 σ liegen. Eine Münze wird 30-mal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Zahl der dabei auftretenden „Kopf“-Würfe an. Berechne für X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ. Interpretiere die erhaltenen Werte. Es wird 36-mal mit einem sechsseitigen Würfel gewürfelt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei auftretenden Einser an. Berechne für X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ. Interpretiere die erhaltenen Werte. Eine Maschine produziert 10 % Ausschuss. Es werden aus der Produktion 30 Artikel entnommen und untersucht. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei gefundenen Ausschussstücke an. Berechne für X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ. Interpretiere die erhaltenen Werte. In einer Firma werden täglich über 30 000 Schrauben produziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube fehlerhaft ist, ist 5 %. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der fehlerhaften Schrauben an. Wie viel Ausschuss an Schrauben kann man durchschnittlich erwarten? Wie stark streut dieser Wert? WS-R 3.2 M1 874 Muster 875 WS-R 3.2 M1 876 WS-R 3.2 M1 877 WS-R 3.2 M1 878 WS-R 3.2 M1 879 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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